valle, remplacer par une fonction toujours croissante ou toujours décroissante de . Toutes les courbes ainsi obtenues sont regardées comme identiques.
M. Jordan a démontré rigoureusement, dans la deuxième édition de son Cours d’Analyse, qu’une courbe fermée sans point multiple sépare le plan en deux régions[1] ; nous admettrons ce résultat.
Les points de la région intérieure constituent ce que l’on appelle le domaine limité par la courbe. Relativement aux points de cette courbe, on peut faire deux conventions, les considérer comme points du domaine ou non, cela a en général peu d’importance.
La frontière d’un domaine est constituée par la courbe fermée qui sert à le définir.
Lorsque les deux étendues extérieure et intérieure d’un domaine sont égales, le domaine est dit quarrable et son étendue superficielle est appelée son aire[2].
Pour qu’un domaine soit quarrable, il faut que sa courbe frontière soit d’étendue extérieure nulle ; une telle courbe est dite une courbe quarrable. Un carré est évidemment quarrable.
De la définition des domaines quarrables, il résulte que rien n’aurait été changé si l’on avait supposé que la division (p. 39) était une division en domaines quarrables de diamètres inférieurs à .
Voici maintenant des exemples des diverses circonstances qu’on vient d’envisager.
Les groupes intégrables nous fournissent un premier exemple d’ensembles mesurables J linéairement. En particulier, l’ensemble (p. 26) est d’étendue extérieure nulle. Il en sera de même, a fortiori, de tout ensemble formé à l’aide des points de ; tous ces ensembles sont donc mesurables J et d’étendue nulle. Comme a la puissance du continu, il est possible d’établir une correspondance biunivoque entre les points de et ceux d’un intervalle, de sorte qu’à tout ensemble de points de cet intervalle correspond un ensemble de points de ; donc l’ensemble des ensembles mesurables J a une puissance au moins égale à celle de
