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déterminées quand $\lambda$ tend vers zéro ; pour cela, considérons d’abord une suite de divisions $\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2},\ldots$, auxquelles correspondent les nombres $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\mathrm {A} _{2},\mathrm {B} _{2},\ldots$, et telles que les $\lambda$ correspondants tendent vers zéro ; et soit une suite de divisions $\Delta _{j}$ auxquelles correspondent les nombres $\alpha _{j}$ et $\beta _{j}$, et telles que les nombres $\lambda _{j}$ correspondants tendent vers zéro.

Comparons $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{j}$. Les carrés de $\Delta _{j}$ sont de deux espèces : les carrés $d$ qui contiennent à leur intérieur des points des côtés des carrés de $\mathrm {D} _{i}$, les autres sont les carrés $d'$. Les points des carrés $d$ forment un ensemble qui est contenu dans l’ensemble des points distants de moins de $\lambda _{j}$ de l’un au moins des points des côtés des carrés de $\mathrm {D} _{i}$.

Si dans $\mathrm {D} _{i}$, il n’y avait qu’un seul carré de périmètre $4c$, cet ensemble serait décomposable en domaines dont la somme des aires, au sens élémentaire du mot, serait $8c\lambda _{j}+(\pi -4)\lambda _{j}^{2}$ pour ${c>2\lambda _{j}}$ ; plus généralement, si dans $\mathrm {D} _{i}$ la somme des périmètres des carrés est $l$, l’ensemble correspondant sera divisible en domaines dont la somme des aires est au plus $2l\lambda _{j}$. Ce nombre est aussi le maximum de la contribution dans $\alpha _{j}$ des carrés $d$.

Quant aux carrés $d'$, ils donnent évidemment une contribution au plus égale à $\mathrm {A} _{i}$. Donc, on a

$\alpha _{j}\leqq \mathrm {A} _{i}+2l\lambda _{j}$,

et cela suffit^[1] pour démontrer que $\alpha _{j}$ et $\mathrm {A} _{i}$ tendent vers une même limite ${\mathcal {A}}$.

Le nombre ${\mathcal {A}}$, dont l’existence vient d’être démontrée, est l’étendue extérieure de $\mathrm {E}$, ${e_{e}(\mathrm {E} )}$ ; mais il s’agit ici d’une étendue superficielle. Cette distinction est importante à noter, car tout ensemble de points en ligne droite a une étendue superficielle extérieure nulle et peut avoir une étendue linéaire extérieure quelconque.

On démontrerait de même que $\mathrm {B} _{i}$ et $\beta _{j}$ tendent vers une même limite ${\mathcal {B}}$. On peut aussi remarquer que, si à la division $\Delta _{j}$ et à l’ensemble des points du carré d’aire $\mathrm {R}$, qui n’appartiennent pas à $\mathrm {E}$, on associe deux nombres $\alpha '_{j}$ et $\beta '_{j}$, analogues à $\alpha _{j}$ et $\beta _{j}$, on a

$\alpha '_{j}+\beta _{j}=\mathrm {R}$

1. Comparez avec le raisonnement de la page 23.