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aux domaines plans ou aux domaines de l’espace. C’est à M. Cantor que l’on doit la première définition de ces nombres ; je vais adopter la méthode d’exposition de M. Jordan qui a simplifié et complété la définition donnée par M. Cantor^[1].

Soit $\mathrm {E}$ un ensemble borné^[2] de nombres ou, si l’on veut, de points sur une droite. Soit ${(a,b)}$ l’un des intervalles contenant $\mathrm {E}$. Divisons ${(a,b)}$ en un nombre fini d’intervalles partiels. Soit $\lambda$ le maximum de la longueur de ces intervalles. Je désigne par $\mathrm {A}$ la somme des longueurs des intervalles partiels qui contiennent des points de $\mathrm {E}$ et par $\mathrm {B}$ la somme des longueurs de ceux dont tous les points font partie de $\mathrm {E}$^[3]. Jordan démontre que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ tendent vers deux limites parfaitement déterminées quand $\lambda$ tend vers zéro. Pour nous, l’existence de ces limites est évidente, car $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des valeurs approchées des intégrales par excès et par défaut de la fonction $\psi$ égale à 1 pour les points de $\mathrm {E}$, nulle pour les autres points^[4].

1. Dans le cas d’un ensemble de points dans l’espace, la définition qu’emploie M. Cantor (Acta mathematica, t. IV) peut être énoncée ainsi : De chaque point $\mathrm {M}$ d’un ensemble $\mathrm {E}$ comme centre traçons une sphère de rayon $\rho$ ; l’ensemble des points intérieurs à ces sphères forme un ou plusieurs domaines dont on a le volume (au sens ordinaire du mot) par une intégrale triple. Soit $f(\rho )$ ce volume ; la limite de $f(\rho )$, quand $\rho$ tend vers zéro, est le volume de $\mathrm {E}$.

   Cette définition est équivalente à celle de l’étendue extérieure donnée par Jordan (t. I de la 2^e édition de son Cours d’Analyse).

   Minkowski s’est servi du nombre $f(\rho )$. Dans le cas où $\mathrm {M}$ est formé de points d’une courbe, Minkowski considère le rapport ${\frac {f(\rho )}{\pi \rho ^{2}}}$ ; s’il a une limite, c’est ce que Minkowski appelle la longueur de la courbe. L’aire d’une surface se définit par le rapport ${\frac {f(\rho )}{2\rho }}$.

   On voit que le nombre $f(\rho )$ peut rendre des services dans la théorie des ensembles. Ce qui précède semble montrer qu’il peut être employé de différentes manières suivant le nombre de dimensions de $\mathrm {E}$ ; d’ailleurs, M. Cantor indiquait dans son Mémoire que la notion de volume lui servait dans la définition du nombre des dimensions d’un ensemble continu. Dans beaucoup de questions, il semble qu’une telle définition serait fort utile, malheureusement M. Cantor n’a pas publié ses recherches sur ce sujet.

2. C’est-à-dire dont tous les nombres sont compris entre deux limites finies.
3. On peut donner deux sens aux deux expressions « un intervalle contient des points » et « tous les points d’un intervalle » comme au mot « enfermé » (voir note 1, p. 26). Il est indifférent d’adopter l’un ou l’autre.
4. M. de la Vallée-Poussin définit les étendues extérieure et intérieure à l’aide de $\psi$.