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Pour le cas de l’intégrale, on a cette propriété que je me contenterai d’énoncer : Tout nombre compris entre les intégrales par excès et par défaut est l’une des limites des sommes $\mathrm {S}$ , quand $\lambda$ tend vers zéro^[1].

↑ À titre d’exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on pourra démontrer que, $f(x)$ étant une fonction bornée d’oscillation moyenne $\omega$ dans ${(a,b)}$ et dont les limites inférieure, supérieure et l’oscillation en $x$ sont $l(x)$ , $\mathrm {L} (x)$ et $\omega (x)$ , on a
$(b-a)\omega ={\overline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \mathrm {L} (x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int l(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \omega (x)\,\mathrm {d} x}}$ .

Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de $\mathrm {L} (x)$ , $l(x)$ , $\omega (x)$ , on exclut la valeur $x$ de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l’oscillation à droite ou à gauche, $x$ étant exclu ou non. (Voir la note 1, p. 19.)

[1] À titre d’exercice concernant les intégrales par excès et par défaut, on pourra démontrer que, $f(x)$ étant une fonction bornée d’oscillation moyenne $\omega$ dans ${(a,b)}$ et dont les limites inférieure, supérieure et l’oscillation en $x$ sont $l(x)$ , $\mathrm {L} (x)$ et $\omega (x)$ , on a
$(b-a)\omega ={\overline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int f(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \mathrm {L} (x)\,\mathrm {d} x}}-{\underline {\int l(x)\,\mathrm {d} x}}={\overline {\int \omega (x)\,\mathrm {d} x}}$ .

Les mêmes relations sont vraies si, dans la définition de $\mathrm {L} (x)$ , $l(x)$ , $\omega (x)$ , on exclut la valeur $x$ de la variable, ou si, par ces notations, on désigne les limites supérieure, inférieure et l’oscillation à droite ou à gauche, $x$ étant exclu ou non. (Voir la note 1, p. 19.)

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