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Il faut remarquer que, dans un intervalle négatif, l’intégrale par excès est plus petite que l’intégrale par défaut.

On a toujours

${\overline {\int _{a}^{b}}}+{\overline {\int _{b}^{c}}}+{\overline {\int _{c}^{a}}}=0$,${\underline {\int _{a}^{b}}}+{\underline {\int _{b}^{c}}}+{\underline {\int _{c}^{a}}}=0$.

mais, l’intervalle d’intégration étant positif, on a

${\overline {\int (f+\varphi )}}\leqq {\overline {\int f}}+{\overline {\int \varphi }}=0$,${\underline {\int (f+\varphi )}}+{\underline {\int f}}+{\underline {\int \varphi }}=0$.

comme on le voit par un raisonnement analogue à celui de la page 31, et non pas les mêmes relations où les signes d’inégalité sont remplacés par des signes d’égalité ; les signes d’inégalité sont indispensables ; par exemple, prenons ${f(x)=\chi (x)}$ (p. 15), et ${\varphi (x)=-\chi (x)}$ ; nous aurons, dans $(0,1)$,

${\overline {\int f}}=1$,${\overline {\int \varphi }}={\overline {\int f+\varphi }}=1$,${\underline {\int f}}={\underline {\int f+\varphi }}=0$,${\underline {\int \varphi }}=-1$^[1].

L’intégrale a été définie comme la limite du nombre

$\mathrm {S} =\textstyle \sum \delta _{i}f(x_{i})$

quand le maximum $\lambda$ des $\delta _{i}$ tend vers zéro. Posons ${\mathrm {S} =\psi (\lambda )}$, nous définissons ainsi une fonction à déterminations multiples (p. 21). Les limites d’indétermination de la limite de $\psi (\lambda )$ pour ${\lambda =0}$ sont les deux intégrales par excès et par défaut. Ceci fait prévoir que ces deux intégrales nous feront souvent connaître des limites inférieure et supérieure d’un nombre quand on saura que ce nombre est donné par l’intégrale $\int f\,\mathrm {d} x$ toutes les fois que $f$ est intégrable.

Pour mieux étudier l’indétermination de la limite de $\mathrm {S}$, il faudrait déterminer l’ensemble $\mathrm {A}$ de toutes les valeurs limites de $\mathrm {S}$^[2].

1. Si l’on remplace $\chi (x)$ par une fonction non intégrable quelconque, les signes d’inégalité sont indispensables.
2. Dans certains cas, on a déterminé non seulement l’ensemble des limites d’une fonction $\psi (\lambda )$, mais encore la fréquence de chacune de ces limites. Cela a été fait notamment pour la sommation de certaines séries divergentes (Voir Borel, Leçons sur les séries divergentes, p. 5).