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et égal à ${\frac {p}{q}}$ ($p$ et $q$ premiers entre eux). $\varphi$ est intégrable puisque ses points de discontinuité, étant ceux d’abscisses rationnelles, forment un ensemble dénombrable.

La fonction $f(\varphi )$ est ici la fonction $\chi (x)$ de Dirichlet (p. 15), fonction non intégrable puisque tous ses points sont des points de discontinuité.

On peut préciser les deux premiers théorèmes qui viennent d’être obtenus. Soient $f$ et $\varphi$ deux fonctions intégrables ; partageons l’intervalle où elles sont données en parties $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n}$ dans lesquelles nous choisissons des valeurs $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$. On a

$\sum \delta _{i}[f(x_{i})+\varphi (x_{i})]=\sum \delta _{i}f(x_{i})+\sum \delta _{i}\varphi (x_{i})$ ;

or les trois sommes qui figurent dans cette égalité sont des valeurs approchées des intégrales de ${f+\varphi }$, $f$, $\varphi$ ; donc l’intégrale de ${f+\varphi }$ est la somme des intégrales de $f$ et de $\varphi$^[1].

L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales. On suppose, bien entendu, qu’il s’agisse d’une véritable somme, c’est-à-dire de la somme d’un nombre fini de termes et non pas d’une série.

Pour arriver au cas des séries uniformément convergentes, il nous sera commode de nous servir du théorème de la moyenne.

Soit $f(x)$ une fonction comprise entre $l$ et $\mathrm {L}$ dans ${(a,b)}$. L’intégrale de $f$ est, on le sait, la limite de la somme ${\mathrm {S} =\textstyle \sum \delta _{i}f(x_{i})}$, mais on a

$\textstyle (b-a)l=\sum \delta _{i}l\leqq \sum \delta _{i}f(x_{i})\leqq \sum \delta _{i}\mathrm {L} =(b-a)\mathrm {L}$.

Donc $\mathrm {S}$, et par suite sa limite, l’intégrale, est comprise entre $(b-a)l$ et $(b-a)\mathrm {L}$ ; elle est donc de la forme $(b-a)\mu$, où $\mu$ est compris entre $l$ et $\mathrm {L}$ ; c’est le théorème de la moyenne.

Ce qui le distingue du théorème des accroissements finis, démontré pour les fonctions continues, c’est qu’il nous est impossible d’affirmer que $\mu$ est l’une des valeurs que prend $f$ dans ${(a,b)}$.

1. Il suffit de modifier légèrement la rédaction pour démontrer en même temps l’intégrabilité de ${f+\varphi }$, laquelle est supposée antérieurement démontrée dans le texte.