considérer, par exemple, la fonction
Ses seuls points de discontinuité sont, d’après les propriétés des séries uniformément convergentes, ceux ou certains de ceux des fonctions ; donc ils forment un ensemble de mesure nulle et est intégrable.
III. — Propriétés de l’intégrale.
Le raisonnement qui précède est général, il permet de démontrer que :
Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est une fonction intégrable.
En effet, les points de discontinuité de la fonction somme sont compris dans l’ensemble formé des points de discontinuité des différents termes. Les points singuliers d’un terme forment un ensemble de mesure nulle, donc est de mesure nulle et la série représente une fonction intégrable.
En particulier, la somme de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable. De même le produit de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable, car les points de discontinuité du produit sont points de discontinuité pour l’un au moins des facteurs.
De même aussi, si f est intégrable et que soit bornée, , est intégrable ; si est intégrable, la racine ième arithmétique de , si elle existe, est intégrable ; si est positive et intégrable et intégrable, est intégrable ; etc.
L’opération , appliquée à des fonctions intégrables, peut au contraire donner des fonctions non intégrables.
Prenons pour une fonction partout égale à 1, sauf pour , où elle est nulle. n’ayant qu’un point de discontinuité est intégrable. sera nulle pour irrationnel et égale à pour rationnel
