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grables $\mathrm {G} (1),\mathrm {G} \!\left({\frac {1}{2}}\right)\!,\mathrm {G} \!\left({\frac {1}{3}}\right)\!,\ldots$ ; ils forment donc un ensemble de mesure nulle.

Soit maintenant une fonction bornée $f(x)$ dont les points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle. $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ faisant partie de cet ensemble est de mesure nulle, et il est fermé ; nous démontrerons plus tard que cela suffit pour affirmer que $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon )$ est un groupe intégrable^[1]. $f$ est intégrable.

Pour qu’une fonction bornée $f(x)$ soit intégrable, il faut et il suffit que l’ensemble de ses points de discontinuité soit de mesure nulle.

Comme exemple de fonction discontinue intégrable, Riemann cite la fonction

$f(x)={\frac {(x)}{1}}+{\frac {(2x)}{4}}+{\frac {(3x)}{9}}+\ldots$.

Son intégrabilité résulte du fait que les seuls points de discontinuité, étant de la forme ${x={\frac {2p+1}{2n}}}$, forment un ensemble dénombrable, donc de mesure nulle ; ou encore, du fait que, l’oscillation étant ${\frac {\pi ^{2}}{8n^{2}}}$ pour ${x={\frac {2p+1}{2n}}}$, les points en lesquels l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ sont en nombre fini.

Pour avoir une fonction intégrable ayant une infinité non dénombrable de points de discontinuité, reprenons l’ensemble $\mathrm {Z}$ qui a été défini précédemment (p. 26). La fonction $f(x)$ admettant la période 1, qui entre 0 et 1 est nulle pour tous les points, sauf pour les points de $\mathrm {Z}$ où elle est égale à 1, est intégrable. Ses points de discontinuité forment en effet le groupe intégrable $\mathrm {Z}$ ; $\mathrm {Z}$ étant parfait a la puissance du continu^[2].

Si l’on veut maintenant que, dans tout intervalle, il y ait un ensemble non dénombrable de points de discontinuité, il suffira d’appliquer le principe de condensation des singularités. On pourra

1. Voir p. 109.
2. Les deux fonctions qui précèdent ne sont pas intégrables par le procédé de Cauchy-Dirichlet, puisque l’ensemble de leurs points de discontinuité n’est pas réductible.