autres intervalles. Dans chaque , il n’y a plus de points d’oscillation plus grande que , chacun de ces intervalles peut donc être divisé en intervalles partiels dans chacun desquels l’oscillation est au plus . Les seuls intervalles, à oscillation plus grande que , sont donc certains des intervalles ; leur longueur totale est au plus et cela suffit, d’après le criterium de Riemann, pour affirmer que est intégrable.
Dans l’énoncé précédent, on peut remplacer l’ensemble des points où l’oscillation est supérieure à par l’ensemble des points où l’oscillation n’est pas inférieure à , car contient qui contient lui-même .
L’ensemble jouit d’une propriété qui va nous permettre une dernière transformation de la condition d’intégrabilité : est fermé. En effet, si est un point limite de , tout intervalle contenant contient des points de et a une oscillation au moins égale à dans cet intervalle.
Pour le nouvel énoncé de la condition d’intégrabilité, je vais faire appel à une notion qu’on retrouvera dans la suite : celle d’ensemble de mesure nulle. C’est un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l’on veut.
Un point, un groupe intégrable sont des exemples d’ensembles de mesure nulle. L’ensemble formé par la réunion d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles de mesure nulle est évidemment aussi de mesure nulle[1] ; tout ensemble dénombrable de points est de mesure nulle. Ceci suffit pour montrer la différence qu’il y a entre un ensemble de mesure nulle et un groupe intégrable : le premier peut être partout dense, le second est toujours non dense.
Soit une fonction intégrable, ses points de discontinuité sont ceux de l’ensemble obtenu par la réunion des groupes inté-
- ↑ Car on peut enfermer dans une infinité dénombrable d’intervalles de longueur totale et l’ensemble , somme des , peut être enfermé dans l’infinité dénombrable d’ensembles d’intervalles de longueur totale .
