Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/39

valles ${\left({\frac {1}{3^{2}}},{\frac {2}{3^{2}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}\right)}$ puis les points intérieurs aux intervalles ${\left({\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, ${\left({\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}},{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {2}{3^{3}}}\right)}$, …. On divise donc toujours chaque intervalle restant en trois parties égales et l’on enlève la partie du milieu. Après $n$ de ces opérations, il reste $2^{n}$ intervalles ; ces $2^{n}$ intervalles peuvent servir à enfermer^[1] les points de $\mathrm {Z}$ ; or, ils ont une longueur totale ${\frac {2^{n}}{3^{n}}}$, $\mathrm {Z}$ est donc un groupe intégrable. Cette construction de $\mathrm {Z}$ montre de plus qu’il est parfait, donc il a la puissance du continu^[2].

Il est évident que l’ensemble formé par la réunion des points de deux groupes intégrables est un groupe intégrable.

Voici maintenant l’énoncé de du Bois-Reymond :

Pour qu’une fonction bornée soit intégrable, il faut et il suffit que, quel que soit ${\varepsilon >0}$, les points où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ forment un groupe intégrable.

Supposons $f$ intégrable, alors on peut diviser ${(a,b)}$ en intervalles partiels tels que ceux dans lesquels l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ aient une longueur totale inférieure à $\eta$. Un point où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ ne peut être contenu dans un intervalle où l’oscillation n’est pas supérieure à $\varepsilon$, donc un tel point est nécessairement l’un des points qui ont servi à la division de ${(a,b)}$, ou bien il est dans les intervalles de longueur $\eta$. Les points de division étant en nombre fini, les points où l’oscillation est supérieure à $\varepsilon$ peuvent être enfermés dans un nombre fini d’intervalles de longueur totale $2\eta$, et, comme $\eta$ est quelconque, ils forment un groupe intégrable.

Réciproquement, nous supposons que les points d’oscillation plus grande que $\varepsilon$ forment un groupe intégrable. On peut donc les enfermer dans un nombre fini d’intervalles de longueur totale $\eta$. Employons ces intervalles $\mathrm {I}$ à la division de ${(a,b)}$ et soient $\mathrm {I} '$ les

1. Enfermer est pris ici au sens large.
2. On peut dire aussi que $\mathrm {Z}$ a la puissance du continu parce qu’il dépend d’une infinité dénombrable de constantes entières $a_{1},a_{2},\ldots$.