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cas ce procédé, appliqué à des fonctions discontinues, donne un nombre déterminé.

Soit une fonction bornée $f(x)$ définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$. Divisons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n}$ et choisissons arbitrairement, quel que soit $i$, un point $x_{i}$ dans $\delta _{i}$ ou confondu avec l’une des extrémités de $\delta _{i}$. Considérons la somme

$\mathrm {S} =\delta _{1}f(x_{1})+\delta _{2}f(x_{2})+\ldots +\delta _{n}f(x_{n})$.

Augmentons constamment le nombre des intervalles $\delta$ et choisissons-les de telle manière que le maximum de leur longueur tende vers zéro^[1]. Alors, si $\mathrm {S}$ tend vers une limite déterminée, indépendante des intervalles et des points $x_{i}$ choisis, Riemann dit que la fonction $f(x)$ est intégrable et a pour intégrale, dans ${(a,b)}$, la limite de $\mathrm {S}$.

Lorsque $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n}$ sont choisis, le nombre $\mathrm {S}$ n’est pas entièrement déterminé ; ses limites inférieure et supérieure d’indétermination sont :

${\underline {\mathrm {S} }}=\sum l_{i}\delta _{i}$,${\overline {\mathrm {S} }}=\sum \mathrm {L} _{i}\delta _{i}$,

où $l_{i}$ et $\mathrm {L} _{i}$ représentent les limites inférieure et supérieure de $f(x)$ dans $\delta _{i}$. Posons ${\mathrm {L} _{i}-l_{i}=\omega _{i}}$, alors

${\overline {\mathrm {S} }}-\mathrm {S} \leqq {\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}=\sum \delta _{i}\omega _{i}$.

Pour que $\mathrm {S}$ tende vers une limite déterminée, il faut d’abord que ${{\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}}$ tende vers zéro ; mais $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$, tend vers ${(b-a)\omega }$, où $\omega$ est l’oscillation moyenne de $f(x)$ ; donc, pour que $f(x)$ soit intégrable, il faut qu’elle soit à oscillation moyenne nulle.

Cette condition est suffisante. Pour le démontrer, il suffit de prouver que ${\overline {\mathrm {S} }}$ a une limite bien déterminée, puisque ${{\overline {\mathrm {S} }}-\mathrm {S} }$ tend vers zéro. Supposons, pour faire cette étude, que l’on raisonne non sur la fonction $f$, mais sur ${f+k}$, $k$ étant une constante telle que ${f+k}$ ne soit jamais négative.

Soient les divisions $\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2},\ldots$ ; $\Delta _{1},\Delta _{2},\ldots$, telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, ce maximum

1. Il est bien entendu que, pour passer d’une division à la suivante, on n’est pas obligé de se servir des points de division déjà employés.