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Comparons $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{j}$ ; les intervalles qui seront dans la division $\Delta _{j}$ qui donne $\alpha _{j}$ sont de deux espèces : les uns, les intervalles $d$, contiennent à leur intérieur des points de la division $\mathrm {D} _{i}$ qui donne $\mathrm {A} _{i}$ ; les autres, les intervalles $d'$, sont compris dans les intervalles de $\mathrm {D} _{i}$. La contribution des intervalles $d$ au numérateur de $\alpha _{j}$ est au plus $n\lambda _{j}\Omega$, si $n$ est le nombre des points de division de $\mathrm {D} _{i}$ et $\lambda _{j}$ le maximum de la longueur des intervalles de $\Delta _{j}$. Les intervalles $d'$ font partie de la division $\Delta '_{j}$ obtenue en réunissant les points de division de $\mathrm {D} _{i}$ et $\Delta _{j}$, donc ils fournissent au numérateur de $\alpha _{j}$ une contribution au plus égale à $(b-a)\mathrm {A} '_{j}$, où $\mathrm {A} '_{j}$ est le nombre analogue à $\mathrm {A}$ et relatif à $\Delta '_{j}$. Mais, puisque l’on sait que $\mathrm {A} '_{j}$ est au plus égal à $\mathrm {A} _{i}$, on en déduit

$\alpha _{j}\leqq \mathrm {A} _{i}+n\lambda _{j}\Omega$.

Tous les $\alpha _{j}$, à partir d’un certain indice, sont inférieurs à ${\mathrm {A} _{i}+\varepsilon }$, ($\varepsilon >0$) ; donc leur plus grande limite est au plus ${\mathrm {A} _{i}+\varepsilon }$ et, puisque $i$ et $\varepsilon$ sont quelconques, la plus grande limite de $\alpha _{j}$ est au plus égale à la plus petite des $\mathrm {A} _{i}$. Rien n’empêche d’échanger dans le raisonnement $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{j}$ ; donc, toutes les limites des $\mathrm {A} _{i}$ et des $\alpha _{j}$ sont égales, $\mathrm {A} _{i}$ tend vers une limite déterminée. Cette limite $\omega$ est l’oscillation moyenne de la fonction dans ${(a,b)}$.

Il faut remarquer ce que nous avons démontré : $\mathrm {A} _{i}$ tend uniformément vers $\omega$ ; c’est-à-dire que, dès que tous les intervalles sont inférieurs à un certain nombre $\lambda$, le nombre $\mathrm {A}$ ne diffère de $\omega$ que d’une quantité inférieure à $\varepsilon$ choisi à l’avance.

II. — Conditions d’intégrabilité.

Ces définitions posées, arrivons à la définition de l’intégrale telle que l’a donnée Riemann.

Riemann porte son attention sur le procédé opératoire qui permet, dans le cas des fonctions continues, de calculer l’intégrale avec telle approximation que l’on veut, et il se demande dans quels

employés dans la $(i+1)$^ième ; en d’autres termes, pour passer d’une division à la suivante, on ne subdivise pas les intervalles de cette division, on marque de nouveaux intervalles sans s’occuper de ceux précédemment employés.