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La propriété est démontrée. Dans le cas où ${\omega =0}$, elle se réduit à ce fait bien connu : une fonction continue en tous les points d’un intervalle est continue dans cet intervalle^[1].

La réciproque de notre propriété n’est pas vraie. Soit une fonction égale à −1 pour $x$ négatif, à +1 pour $x$ positif, nulle pour $x$ nul. Son oscillation pour ${x=0}$ est 2 et, cependant, si l’on emploie le point de division ${x=0}$, la fonction a une oscillation seulement égale à 1 dans chacun des deux intervalles obtenus.

Nous allons maintenant définir l’oscillation moyenne d’une fonction bornée $f(x)$ définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$. Partageons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n}$. Soit $\omega _{i}$ l’oscillation de $f(x)$ dans l’intervalle $\delta _{i}$, les extrémités de $\delta _{i}$ étant ou non considérées comme faisant partie de l’intervalle. Et formons la quantité

$\mathrm {A} ={\frac {\delta _{1}\omega _{1}+\delta _{2}\omega _{2}+\ldots +\delta _{n}\omega _{n}}{b-a}}$.

Si $\Omega$ est l’oscillation de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, $\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}$ étant au plus égaux à $\Omega$, $\mathrm {A}$ est au plus égal à $\Omega$. Si donc nous divisons $\delta _{i}$ en intervalles partiels $\delta _{i}^{1},\delta _{i}^{2},\ldots ,\delta _{i}^{p_{i}}$, auxquels correspondent les oscillations $\omega _{i}^{1},\omega _{i}^{2},\ldots ,\omega _{i}^{p_{i}}$, on a

$\delta _{i}\omega _{i}\geqq \sum _{j=1}^{j=p_{i}}\delta _{i}^{j}\omega _{i}^{j}$.

En subdivisant les intervalles $\delta _{i}$ on remplace donc $\mathrm {A}$ par un nombre plus petit.

Considérons deux séries de divisions de ${(a,b)}$ en intervalles partiels ; aux divisions de la première série correspondent les nombres $\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{2},\ldots$ ; à celles de la seconde les nombres $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$. Nous supposons que, pour chacune des deux séries, le maximum de la longueur des intervalles employés dans la $i$^ième division tend vers zéro avec ${\frac {1}{i}}$^[2] ; dans ces conditions nous allons voir que les $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{i}$ ont une même limite.

1. C’est cette propriété que l’on énonce : la continuité est uniforme. On exprime par là que la quantité $\eta (\varepsilon )$ peut être choisie uniformément dans l’intervalle considéré, c’est-à-dire indépendamment de la variable $x$.
2. Les points de division employés dans la $i$^ième division ne sont pas nécessai-