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Mais il se peut aussi, et l’on en verra bientôt des exemples, que la fonction $\psi (\lambda )$ ne soit plus une fonction bien déterminée, mais soit une fonction à plusieurs déterminations.

On dit que l’on a une telle fonction si, à chaque valeur de $\lambda$, prise dans un certain ensemble où la fonction est définie, on fait correspondre un ensemble de nombres ; chacun de ces nombres est représenté par la notation $\psi (\lambda )$. Ce qui a été dit relativement aux limites supérieure et inférieure pour les fonctions à une seule détermination, s’applique sans aucun changement aux fonctions à déterminations multiples. $\psi (\lambda )$ a donc une limite inférieure $l$ et une limite supérieure $\mathrm {L}$ pour ${\lambda =\lambda _{0}}$, qui sont, respectivement, la plus petite et la plus grande des limites que l’on peut atteindre en choisissant une suite de nombres $\lambda _{i}$ tendant vers $\lambda _{0}$ et en choisissant convenablement les nombres $\psi (\lambda _{i})$ correspondants. Ces deux nombres sont les limites d’indétermination de la limite de $\psi (\lambda )$ quand $\lambda$ tend vers $\lambda _{0}$^[1].

Revenons maintenant à l’étude des fonctions.

Il y a une relation très simple entre les oscillations relatives aux intervalles contenus dans ${(a,b)}$ et les oscillations aux divers points de ${(a,b)}$. On peut l’exprimer ainsi :

Si, en tous les points de ${(a,b)}$, l’oscillation est au plus égale à $\omega$, dans tout intervalle intérieur à ${(a,b)}$ et de longueur $\lambda$, l’oscillation est inférieure à $\omega +\varepsilon$ dès que $\lambda$ est assez petit ; $\varepsilon$ étant un nombre positif quelconque.

S’il en était autrement, on pourrait trouver des couples de points $a_{p}$, $b_{p}$, tels que ${b_{p}-a_{p}}$ tende vers zéro et que l’on ait

$\left\vert f(b_{p})-f(a_{p})\right\vert >\omega +\varepsilon$.

L’ensemble des $a_{p}$ a, au moins, un point limite $\alpha$. Si l’on prend une suite de valeurs $a_{p}$ tendant vers $\alpha$, les $b_{p}$ tendent aussi vers $\alpha$, donc en $\alpha$ l’oscillation est au moins ${\omega +\varepsilon }$. Il y a là une contradiction avec l’hypothèse.

1. Du Bois-Reymond dit simplement « les limites d’indétermination de $\psi (\lambda )$ pour ${\lambda =\lambda _{0}}$ ». Cela tient à l’idée que se faisait Du Bois-Reymond de la valeur d’une fonction en un point de discontinuité (note 1, p. 9).

   Je crois qu’il vaut mieux adopter le langage du texte, plus conforme aux idées modernes sur la détermination des fonctions.