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extrémités, a pour origine et pour extrémité les limites inférieure et supérieure d’indétermination du nombre $\varphi$. Ces limites sont finies ou infinies, elles ne font pas nécessairement partie de $\mathrm {A}$.

Par exemple, on donne l’expression

$\varphi =\lim _{n=\infty }x^{n}$,

où $n$ est entier. $\varphi$ est nul pour ${\left\vert x\right\vert <1}$ ; pour calculer $\varphi$ dans ce cas on peut choisir arbitrairement une suite d’entiers croissants $n_{1},n_{2},\ldots$ et prendre la limite de la suite $x^{n_{i}}$ correspondante. Si $x$ n’est plus compris entre −1 et +1, en opérant ainsi et en choisissant convenablement les $n_{i}$, on aura encore une limite, mais cette limite dépendra en général du choix des $n_{i}$. Pour ${x=-1}$, l’ensemble $\mathrm {A}$ de ces limites contient les deux seuls nombres −1 et +1 qui sont les limites d’indétermination. Pour ${x<-1}$, l’ensemble $\mathrm {A}$ ne contient que $+\infty$ et $-\infty$ qui sont les deux limites d’indétermination.

Pour ${x=1}$, $\varphi$ est égal à 1. Pour ${x>1}$, $\varphi$ est égal à $+\infty$.

La notion des limites d’indétermination peut souvent être remplacée par la notion plus simple de plus petite et de plus grande limite, notion que l’on doit à Cauchy.

Supposons que le nombre $\varphi$ soit défini comme la limite pour ${\lambda =\lambda _{0}}$ d’un nombre $\psi (\lambda )$ ; $\lambda$ prendra toutes les valeurs possibles ou seulement celles d’un certain ensemble dont $\lambda _{0}$ est un point limite (l’exemple précédent se ramène à ce cas si l’on prend ${\lambda ={\frac {1}{n}}}$, où $n$ est entier, et $\lambda _{0}=0$). La fonction $\psi (\lambda )$ n’est pas définie pour ${\lambda =\lambda _{0}}$, mais nous savons qu’elle a pour ${\lambda =\lambda _{0}}$ une limite inférieure $l$ et une limite supérieure $\mathrm {L}$^[1] ; ces nombres, finis ou non, sont respectivement la plus petite et la plus grande des limites que l’on peut obtenir quand, dans $\psi (\lambda )$, on fait tendre $\lambda$ vers $\lambda _{0}$. $l$ et $\mathrm {L}$ sont les deux limites d’indétermination précédemment définies ; mais, dans le cas qui nous occupe, ces nombres sont compris dans l’ensemble $\mathrm {A}$ des valeurs limites, tandis que, dans le cas général, ils font seulement partie de $\mathrm {A}$ ou du dérivé $\mathrm {A} '$ de $\mathrm {A}$.

1. Ces dénominations sont celles qu’adopte M. J. Hadamard.