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donc on a

$l_{i}\leqq l'_{j}\leqq l_{k}\leqq \mathrm {L} _{k}\leqq \mathrm {L} '_{j}\leqq \mathrm {L} _{i}$,

ce qui suffit à démontrer la propriété.

Les nombres $\mathrm {L}$, $l$, $\omega$ sont appelés le maximum ou limite supérieure, le minimum ou limite inférieure et l’oscillation de la fonction en $\mathrm {A}$. $\mathrm {A}$ est un point de continuité ou de discontinuité, suivant que $\omega$ est nul ou positif, c’est-à-dire suivant que $\mathrm {L}$ et $l$ sont égaux ou inégaux.

Si $x_{0}$ est l’abscisse de $\mathrm {A}$ et si l’on convient de ne considérer que les valeurs de $x$ supérieures à $x_{0}$ (${x>x_{0}}$), on obtient le maximum $\mathrm {M} _{d}$, le minimum $m_{d}$ et l’oscillation $\omega _{d}$ à droite en $\mathrm {A}$. Si ${\omega _{d}=0}$, c’est-à-dire si ${\mathrm {M} _{d}=m_{d}}$, ${f(x_{0}+0)}$ existe et est égale à $\mathrm {M} _{d}$. Si ${\mathrm {M} _{d}=m_{d}=f(x_{0})}$, la fonction $f(x)$ est dite continue à droite. On définit de même les nombres $\mathrm {M} _{g}$, $m_{g}$, $\omega _{g}$^[1].

Si $\omega _{d}$ et $\omega _{g}$ sont nuls, c’est-à-dire si ${f(x_{0}+0)}$ et ${f(x_{0}-0)}$ existent, la discontinuité est dite de première espèce, sinon elle est dite de seconde espèce.

Toutes ces définitions pourraient être données pour des fonctions non bornées ; rien ne serait changé, sauf que les nombres définis ne seraient plus nécessairement finis.

Aux notions précédentes, on peut rattacher la notion de limite d’indétermination qui nous sera souvent utile ; cette notion est due à P. du Bois-Reymond.

Un procédé de calcul fournit, dans certaines conditions, un nombre déterminé $\varphi$ ; dans d’autres conditions, au contraire, il ne fournit plus un nombre déterminé, mais, suivant la manière dont on l’applique, il fournit différents nombres qui forment un ensemble $\mathrm {A}$. On peut alors, ou dire que le procédé ne fournit plus aucun nombre, ou dire que le procédé donne pour nombre $\varphi$ l’un quelconque des nombres de $\mathrm {A}$. Le nombre $\varphi$ est ainsi considéré comme indéterminé. Le plus petit intervalle qui contient tous les points de $\mathrm {A}$, soit à son intérieur, soit confondus avec ses

1. La définition précédente est celle des maximum, minimum, oscillation de $f(x)$ à droite de $x_{0}$, $x_{0}$ étant exclu. On considère aussi souvent les mêmes nombres, $x_{0}$ n’étant pas exclu ; il faut alors prendre les valeurs de $x$ égales ou supérieures à $x_{0}$ (${x\geqq x_{0}}$).

   Sauf avis contraire, je me servirai toujours de la définition du texte.