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CHAPITRE II.

LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

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I. — Propriétés relatives aux fonctions.

Les fonctions auxquelles s’appliquent les définitions précédentes peuvent avoir une infinité de points de discontinuité ; mais ces points sont encore exceptionnels, en ce sens qu’ils forment un ensemble non dense. Dirichlet a rencontré incidemment la fonction

$\chi (x)=\lim _{m=\infty }\left[\lim _{n=\infty }(\cos {m!\pi x})^{2n}\right]$,

dont tous les points sont des points de discontinuité, puisqu’elle est nulle pour $x$ irrationnel, égale à 1 pour $x$ rationnel. Les considérations de Cauchy et de Dirichlet ne s’appliquent donc pas à toutes les fonctions au sens de Cauchy. Riemann^[1] a montré, sur un exemple, comment l’emploi des séries permettait de construire des fonctions dont les points de discontinuité forment un ensemble partout dense, fonctions auxquelles les définitions précédentes ne peuvent donc s’appliquer.

Soit $(x)$ la différence entre $x$ et l’entier le plus voisin ; si $x$ est égal à un entier plus 1/2, on prend ${(x)=0}$. La fonction ainsi définie se nomme excès de $x$ ; c’est une fonction au sens de Cauchy, car elle admet un développement de Fourier, procédant suivant les lignes trigonométriques des multiples de ${2\pi x}$, qui est partout convergent. Considérons la fonction, au sens de Cauchy,

$f(x)={\frac {(x)}{1^{2}}}+{\frac {(2x)}{2^{2}}}+{\frac {(3x)}{3^{2}}}+\ldots$ ;

1. Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique (Bulletin des Sciences mathématiques, 1873 et Œuvres de Riemann).