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Supposons maintenant que l’ensemble $\mathrm {E}$ des points singuliers de $f(x)$ ne soit pas réductible. Nous allons voir que, s’il existe une fonction $\mathrm {F} (x)$ satisfaisant à la condition (1) dans tout intervalle où $f(x)$ est continue, il en existe une infinité.

Soit $\mathrm {E} ^{\alpha }$ celui des dérivés de $\mathrm {E}$ qui est parfait ; $\mathrm {E} ^{\alpha }$ s’obtient en enlevant de l’intervalle considéré ${(a,b)}$ les points intérieurs à des intervalles $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, qui forment une suite dénombrable si $\mathrm {E}$ est non dense dans tout intervalle, ce qui est le seul cas qui nous intéresse^[1].

Définissons une fonction $\varphi (x)$ par la condition d’être nulle pour ${x=a}$, égale à 1 pour ${x=b}$. En tous les points de $\delta _{1}$, $\varphi (x)={\frac {1}{2}}$. En tous les points de $\delta _{2}$, $\varphi (x)={\frac {1}{4}}$, si $\delta _{2}$ est entre $a$ et $\delta _{1}$ ; et $\varphi (x)={\frac {3}{4}}$, si $\delta _{2}$ est entre $\delta _{1}$ et $b$. D’une façon générale, ayant attribué à $\varphi (x)$, dans $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n-1}$, les valeurs $\Delta _{1},\Delta _{2},\ldots ,\Delta _{n-1}$, on attribue à $\varphi (x)$, dans $\delta _{n}$, la valeur ${\frac {\Delta _{i}+\Delta _{j}}{2}}$, $i$ et $j$ étant les indices de ceux des deux intervalles $\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n-1}$ qui comprennent $\delta _{n}$.

Tout point de $\mathrm {E} ^{\alpha }$ est limite de points de certains intervalles $\delta _{n}$ ; il est facile de voir que si des points de $\delta _{\alpha _{1}},\delta _{\alpha _{2}},\ldots$ tendent vers $x,\Delta _{\alpha _{1}},\Delta _{\alpha _{2}},\ldots$ tendent vers une limite déterminée ; on prend cette limite pour valeur de $\varphi (x)$. $\varphi (x)$ est ainsi partout déterminée, c’est une fonction continue non constante dans ${(a,b)}$ et, cependant, constante dans tout intervalle ne contenant pas de points de $\mathrm {E}$. De sorte que, s’il existe une fonction $\mathrm {F} (x)$, satisfaisant à l’égalité (1) dans tout intervalle où il n’y a pas de points de $\mathrm {E}$. ${\mathrm {F} (x)+\varphi (x)}$ satisfait aussi à cette condition.

Maintenant, si l’on remarque que $\mathrm {E}$ et $e$ sont réductibles en même temps^[2], on voit que, pour que la définition adoptée

les points de $\mathrm {E}$ pour points de discontinuité. On verra facilement que la série précédente est intégrable terme à terme.

Pour des exemples d’ensembles réductibles, voir la Note.

1. Car si $\mathrm {E} ^{\alpha }$ est dense dans un intervalle, $\mathrm {F} (x)$ est certainement indéterminée.
2. Il faut bien remarquer que $e$ peut être dénombrable sans que $\mathrm {E}$ le soit, $e$ est alors un ensemble dénombrable non réductible ; c’est le cas de l’ensemble des nombres rationnels.