Supposons maintenant que l’ensemble
des points singuliers de
ne soit pas réductible. Nous allons voir que, s’il existe une fonction
satisfaisant à la condition (1) dans tout intervalle où
est continue, il en existe une infinité.
Soit
celui des dérivés de
qui est parfait ;
s’obtient en enlevant de l’intervalle considéré
les points intérieurs à des intervalles
,
, …, qui forment une suite dénombrable si
est non dense dans tout intervalle, ce qui est le seul cas qui nous intéresse[1].
Définissons une fonction
par la condition d’être nulle pour
, égale à 1 pour
. En tous les points de
,
. En tous les points de
,
, si
est entre
et
; et
, si
est entre
et
. D’une façon générale, ayant attribué à
, dans
, les valeurs
, on attribue à
, dans
, la valeur
,
et
étant les indices de ceux des deux intervalles
qui comprennent
.
Tout point de
est limite de points de certains intervalles
; il est facile de voir que si des points de
tendent vers
tendent vers une limite déterminée ; on prend cette limite pour valeur de
.
est ainsi partout déterminée, c’est une fonction continue non constante dans
et, cependant, constante dans tout intervalle ne contenant pas de points de
. De sorte que, s’il existe une fonction
, satisfaisant à l’égalité (1) dans tout intervalle où il n’y a pas de points de
.
satisfait aussi à cette condition.
Maintenant, si l’on remarque que
et
sont réductibles en même temps[2], on voit que, pour que la définition adoptée
les points de
pour points de discontinuité. On verra facilement que la série précédente est intégrable terme à terme.
Pour des exemples d’ensembles réductibles, voir la Note.
- ↑ Car si
est dense dans un intervalle,
est certainement indéterminée.
- ↑ Il faut bien remarquer que
peut être dénombrable sans que
le soit,
est alors un ensemble dénombrable non réductible ; c’est le cas de l’ensemble des nombres rationnels.