intervalles où est continue et recherchons si est bien déterminée ; lorsqu’il en sera ainsi, l’égalité (1) servira de définition à l’intégrale.
Nous nous appuierons sur cette remarque évidente : si l’intégrale , qui figure au premier membre de (1), a un sens dans tous les intervalles qui ne contiennent aucun des points , , …, , en nombre fini, les différentes fonctions continues satisfaisant toujours à l’égalité (1) ne peuvent différer que par une constante.
Si ne contient qu’un nombre fini de points, est donc bien déterminée, d’où la définition de Cauchy.
Le premier membre de (1) a maintenant un sens dans tout intervalle ne contenant pas de points de ; donc, si n’a qu’un nombre fini de points, est bien déterminée, d’où la définition de Dirichlet-Lipschitz.
On passe de là au cas où , , …, ne contient qu’un nombre fini de points.
Dans tout intervalle où n’a pas de points, est donc bien déterminée[1] et, par suite, le premier membre de (1) a un sens dans un tel intervalle ; de là on conclut que est bien déterminée quand n’a qu’un nombre fini de points. On passe ensuite au cas où , ,… n’a qu’un nombre fini de points ; puis au cas où c’est qui jouit de cette propriété, et ainsi de suite.
Nous voyons ainsi que, si est réductible, est bien déterminée, de sorte que notre définition s’applique ; il existe alors une intégrale que l’on obtient par l’application répétée de la méthode de Cauchy-Dirichlet.
Pour avoir des exemples de fonctions auxquelles s’applique cette méthode, il suffit de prendre un ensemble réductible , de ranger ses points en suite simplement infinie, , , …, et de former la série
