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discontinuité de $f(x)$. Si $e$ ne contient qu’un nombre fini de points, nous appliquons les définitions de Cauchy.

D’après Lipschitz, le cas qu’étudie Dirichlet est celui où le dérivé $e'$ de $e$ ne contient qu’un nombre fini de points, comme cela se présente, par exemple, pour la fonction ${\frac {1}{\sin {\frac {1}{x}}}}$, où $e'$ ne contient que ${x=0}$.

Les points de $e'$ divisent alors ${(a,b)}$ en un nombre fini d’intervalles partiels, soit ${(\alpha ,\beta )}$ l’un d’eux. Dans ${(\alpha +h,\beta -k)}$, il n’y a qu’un nombre fini de points de $e$. Si, dans cet intervalle, les définitions de Cauchy ne s’appliquent pas, on dira que la fonction n’a pas d’intégrale dans ${(a,b)}$. Si au contraire elles s’appliquent, on considère l’intégrale $\int _{\alpha +h}^{\beta -k}f(x)\,\mathrm {d} x$ et l’on fait tendre simultanément $h$ et $k$ vers zéro suivant des lois quelconques. Si l’on n’obtient pas une limite déterminée, $f(x)$ n’a pas d’intégrale dans ${(a,b)}$ ; si au contraire on a une limite déterminée, on pose

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h=0,k=0}\int _{\alpha +h}^{\beta -k}f(x)\,\mathrm {d} x$.

L’intégrale dans ${(a,b)}$ est, par définition, la somme des intégrales dans les intervalles ${(\alpha ,\beta )}$.

On voit que la définition de Dirichlet repose sur les mêmes principes que celle de Cauchy ; la définition générale qui découle de ces principes peut s’énoncer ainsi :

Une fonction $f(x)$ a une intégrale dans un intervalle fini ${(a,b)}$ s’il existe dans ${(a,b)}$ une fonction continue $\mathrm {F} (x)$, et une seule à une constante additive près, telle que l’on ait

(1)

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )$.

dans tout intervalle où $f(x)$ est continue. $\mathrm {F} (x)$ est l’intégrale indéfinie de $f(x)$ et l’on a

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)$.

Pour que cette définition s’applique, il faut d’abord qu’il existe