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Cauchy énonce d’une manière très précise la définition dont on vient de voir deux applications. Pour lui, si une fonction $f(x)$ est continue dans un intervalle ${(a,b)}$, sauf en un point $c$, au voisinage duquel $f(x)$ est bornée ou non^[1], on peut définir l’intégrale de $f(x)$ dans ${(a,b)}$ si les deux intégrales

$\int _{a}^{c-h}f(x)\,\mathrm {d} x$et$\int _{c+h}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

tendent vers des limites déterminées quand $h$ positif tend vers zéro ; alors on a par définition

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h=0}\left[\int _{a}^{c-h}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c+h}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\right]$^[2].

Si dans ${(a,b)}$ il existe plusieurs points de discontinuité, on partage ${(a,b)}$ en assez d’intervalles partiels pour que, dans chacun d’eux, il n’existe plus qu’un seul point singulier ; on applique à chaque intervalle la définition précédente, si cela est possible ; on fait ensuite la somme des nombres ainsi obtenus.

C’est à ces définitions que se rattachent les critères connus relatifs à l’existence des intégrales des fonctions infinies autour d’un point.

Pour des recherches relatives à la théorie des fonctions et en particulier pour l’étude des séries trigonométriques, Lejeune-Dirichlet a étendu la notion d’intégrale. Les recherches de Lejeune-Dirichlet, qu’il avait annoncées lui-même, n’ont jamais été publiées ; mais, d’après Lipschitz, on peut les résumer comme il suit.

Soit une fonction $f(x)$ définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$, dans lequel il faut l’intégrer ; soit $e$ l’ensemble des points de

1. Cauchy ne se préoccupe pas de la valeur de la fonction pour ${x=c}$. D’ailleurs, pour lui, si $f(x)$ tend vers une valeur déterminée quand $x$ tend vers $c$, cette valeur limite est $f(c)$ ; s’il n’en est pas ainsi, $f(c)$ est l’une quelconque des valeurs comprises entre la plus petite et la plus grande des limites de $f(x)$. Dans quelques Mémoires, P. Du Bois-Reymond a repris ces conventions.
2. Cauchy s’occupe aussi du cas où le second membre de cette égalité aurait un sens, sans que les deux intégrales qui y figurent aient des limites. Dans ce cas, il appelle ce second membre la valeur principale de l’intégrale $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.