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limites de sommes, par exemple pour la définition et le calcul de l’aire comprise entre une courbe et son asymptote, l’intégration des fonctions continues ne suffisait plus ; on a été ainsi conduit à s’occuper de l’intégration des fonctions qui sont infinies en certains points ou au voisinage de certains points. D’autre part, pour certaines applications des intégrales définies, par exemple pour le calcul des coefficients de la série trigonométrique représentant une fonction donnée, il semblait y avoir avantage à définir l’intégrale d’une fonction qui, tout en restant finie, est discontinue en certains points. Aussi, dès l’introduction de la notion d’intégrale définie, a-t-on étendu cette notion à certaines fonctions discontinues.

On a été conduit à la définition qui sera donnée plus loin en posant en principe l’identité, constatée dans le cas des fonctions continues, de l’intégrale indéfinie et de la fonction primitive. Considérons la fonction $f(x)$ qui, pour ${x\neq 0}$, est égale à ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{x}}}$. Les seules fonctions continues qui admettent, sauf pour ${x=0}$, une dérivée égale à $f(x)$ sont données par la formule ${\mathrm {K} +{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$ ; on a dit que ${\mathrm {F} (x)=\mathrm {K} +{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$ était l’intégrale indéfinie de $f(x)$, et convenu que la formule (1) donnait l’intégrale définie de $f(x)$ dans un intervalle quelconque ${(\alpha ,\beta )}$.

Soit encore la fonction $f(x)$ (considérée par Fourier) égale à −1 pour $x$ négatif, à +1 pour $x$ positif^[1]. Les seules fonctions continues qui admettent $f(x)$ pour dérivée, sauf pour la valeur singulière ${x=0}$, sont les fonctions (considérées par Cauchy) ${\mathrm {K} +{\sqrt {x^{2}}}}$ ; si l’on considère ces fonctions comme des intégrales indéfinies, on en déduit la valeur de l’intégrale définie de $f(x)$ dans tout intervalle^[2].

1. Cette fonction, non définie pour ${x=0}$, admet, comme on sait, un développement trigonométrique ; on peut aussi la noter ${\frac {+{\sqrt {x^{2}}}}{x}}$.
2. Il est bon d’ajouter que les intégrales définies, que l’on peut ainsi attacher aux deux espèces de fonctions discontinues que l’on vient de considérer, permettent d’exprimer les coefficients du développement trigonométrique des fonctions à l’aide des formules d’Euler et de Fourier qui servent dans le cas des fonctions continues.