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La fonction $\mathrm {S(X)}$ qui figure dans la démonstration précédente ou plus exactement la fonction

$\mathrm {S(X)+K} =\mathrm {K} +\int _{a}^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x=\mathrm {K_{1}} +\int _{\alpha }^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x$,

dans laquelle $\mathrm {K}$ et $\mathrm {K} _{1}$ sont des constantes quelconques et $\alpha$ une valeur de $x$ prise dans l’intervalle où $f(x)$ est définie, s’appelle l’intégrale indéfinie de la fonction $f(x)$ et se note ${\int f(x)\,\mathrm {d} x}$. On voit que l’intégrale indéfinie d’une fonction $f(x)$ est la fonction $\mathrm {F} (x)$ la plus générale telle que l’on ait, quels que soient $\alpha$ et $\beta$ dans l’intervalle où $f(x)$ est définie,

(1)

$\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )=\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x$.

On voit aussi que, pour les fonctions continues, il y a identité entre les intégrales indéfinies et les fonctions primitives^[1].

II. — L’intégration des fonctions discontinues.

Dans ce qui précède, l’intégrale définie apparaît comme un élément permettant de calculer la fonction primitive ; dans la pratique, les fonctions primitives servent, au contraire, au calcul des intégrales définies. Ces intégrales définies, qui sont des limites de sommes dont le nombre des termes augmente indéfiniment tandis que la valeur absolue de ces termes tend vers zéro, se rencontrent dans un grand nombre de questions d’Analyse, de Géométrie et de Mécanique^[2]. Pour le calcul de certaines de ces

1. Cela ne serait plus vrai si l’on n’introduisait pas la constante $\mathrm {K}$ dans la définition de l’intégrale indéfinie.
2. L’application la plus simple de la notion d’intégrale est la quadrature des domaines plans. À cause de cette application, on a fait souvent remonter la notion d’intégrale définie à Archimède et à la quadrature de la parabole. Il est vrai que beaucoup de quadratures ont été effectuées avant l’introduction du Calcul intégral, mais les géomètres n’attachaient en général aucune importance particulière aux domaines bien spéciaux dont il faut calculer les aires pour avoir des intégrales définies. L’importance de ces domaines n’est nettement apparue qu’après l’introduction de la notion de dérivée.