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maximum de ${a_{i}-a_{i-1}}$ tend vers zéro d’une manière quelconque^[1].

Le nombre $\mathrm {S(X)}$ ainsi obtenu s’appelle l’intégrale définie de la fonction $f(x)$ dans l’intervalle $(a,\mathrm {X} )$. Depuis Fourier, on le représente par la notation $\int _{a}^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x$.

Ce symbole n’a jusqu’à présent de sens que dans les intervalles positifs ${(a,\mathrm {X} )}$, ($\mathrm {X} \geqq a$) ; par définition, on pose

$\int _{a}^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {X} }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$.

Il est évident que l’on a, quels que soient $a$, $b$, $c$,

$\int _{a}^{b}+\int _{b}^{c}+\int _{c}^{a}=0$.

Remarquons encore que si $\mathrm {L}$ et $l$ sont les limites supérieure et inférieure de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ est comprise entre ${\mathrm {L} (b-a)}$ et ${l(b-a)}$. La fonction continue $f(x)$ prenant toutes les valeurs entre $l$ et $\mathrm {L}$, y compris les valeurs $l$ et $\mathrm {L}$, on peut écrire

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi )$,

$\xi$ étant compris entre $a$ et $b$^[2] ; c’est le théorème des accroissements finis.

Le nombre $\mathrm {S(X)}$ étant maintenant défini d’une manière précise, on démontre l’existence de la fonction primitive de $f(x)$ sans difficulté. En effet, on a

${\frac {\mathrm {S} (x_{0}+h)-S(x_{0})}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)\,\mathrm {d} x=f(x_{0}+\theta h)$,

égalité qui démontre que la fonction $\mathrm {S(X)}$ est continue et a pour dérivée $f(x)$.

1. Voir, par exemple, les deux Ouvrages cités page 2 ou le Tome I du Traité d’Analyse de M. Picard.
2. Cette démonstration n’exclut pas les égalités ${\xi =a}$, ${\xi =b}$. Dans certains cas il est bon de prouver qu’on peut choisir $\xi$ différent de $a$ et $b$ ; la démonstration est immédiate.