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$\eta (\varepsilon )$ tel que l’inégalité $\left\vert h\right\vert \leqq \eta (\varepsilon )$ entraîne

$\left\vert f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right\vert \leqq \varepsilon$ ;

la fonction $f(x)$ est continue dans ${(a,b)}$ si la correspondance entre $\varepsilon$ et $\eta (\varepsilon )$ peut être choisie indépendamment du nombre $x_{0}$, quelconque dans ${(a,b)}$.

On reconnaît là les définitions aujourd’hui classiques.

Pour démontrer l’existence des fonctions primitives des fonctions continues, il suffit de reprendre la démonstration géométrique indiquée précédemment. Dans cette démonstration on a fait appel à la notion d’aire. Cette notion, déjà assez peu claire lorsqu’il s’agit de domaines limités par des courbes géométriques simples comme le cercle ou l’ellipse, le devient moins encore lorsqu’il s’agit des domaines intervenant dans la démonstration qui nous occupe.

Les courbes $\Gamma$ qui limitent ces domaines ne sont plus nécessairement des courbes géométriques, elles peuvent être formées de parties de courbes géométriques (${y=+{\sqrt {x^{2}}}}$) ; on sait donc qu’elles peuvent être compliquées sans savoir où s’arrête cette complication. Aussi Cauchy crut devoir préciser ce que l’on doit entendre par le nombre $\mathrm {S} (x)$ de la démonstration précédente^[1] ; il lui suffit pour cela de reprendre les opérations qui servaient ordinairement à calculer des valeurs approchées de $\mathrm {S} (x)$ considérée comme aire et de démontrer que ces calculs conduisaient à un nombre limite. On a ainsi la démonstration maintenant classique de l’existence des fonctions primitives.

Soit ${(a,\mathrm {X} )}$ l’intervalle que nous considérons. Divisons ${(a,\mathrm {X} )}$ en intervalles partiels à l’aide des nombres croissants

$a_{0}=a,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}=\mathrm {X}$ ;

et formons la somme

$\mathrm {S} =(a_{1}-a_{0})f(x_{1})+(a_{2}-a_{1})f(x_{2})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})f(x_{n})$,

où $x_{i}$ est un nombre quelconque compris entre $a_{i-1}$ et $a_{i}$. On démontre que $\mathrm {S}$ tend vers un nombre déterminé $\mathrm {S(X)}$ quand le

1. C’est-à-dire qu’il crut devoir définir l’aire d’une façon précise.