Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/148

remarquons que si $\mathrm {M}$ est un point de $\mathrm {E} ^{\Omega }$ et ${(a,b)}$ un intervalle contenant $\mathrm {M}$, ou bien l’un des dérivés de $\mathrm {E}$ est parfait dans ${(a,b)}$, ou bien quel que soit le dérivé considéré $\mathrm {E} ^{\alpha }$ on peut trouver un point $\mathrm {M} ^{\alpha }$ appartenant à $\mathrm {E} ^{\alpha }$ sans appartenir à $\mathrm {E} ^{\alpha +1}$ et cela fait voir que, dans tous les cas, $\mathrm {E} ^{1}$ n’est pas dénombrable dans ${(a,b)}$. Inversement, si $\mathrm {M}$ est tel que dans tout intervalle ${(a,b)}$ le contenant il y a une infinité non dénombrable de points de $\mathrm {E} ^{1}$, $\mathrm {M}$ appartient à $\mathrm {E} ^{\Omega }$ ; car s’il n’appartenait pas à $\mathrm {E} ^{\alpha }$ il y aurait un intervalle ${(a,b)}$ dans lequel $\mathrm {E} ^{\alpha }$ n’aurait pas de points et dans lequel $\mathrm {E} ^{1}$ serait dénombrable.

De cette propriété caractéristique des points de $\mathrm {E} ^{\Omega }$ il résulte que $\mathrm {E} ^{\Omega }$ ne peut contenir aucun point isolé ; si $\mathrm {M}$ était un tel point, on pourrait trouver ${(a,b)}$ contenant $\mathrm {M}$ et ne contenant aucun autre point de $\mathrm {E} ^{\Omega }$ ; marquons les points ${a<a_{1}<a_{2}\ldots }{}<{\mathrm {M} <\ldots <b_{2}<b_{1}<b}$, les $a_{i}$ et les $b_{i}$ tendant vers $\mathrm {M}$ ; dans chaque intervalle ${(a_{i},a_{i+1})}$, ${(b_{i+1},b_{i})}$, $\mathrm {E} ^{1}$ est dénombrable, il est donc dénombrable dans ${(a,b)}$.

$\mathrm {E} ^{\Omega }$ est parfait. Mais nous voyons de plus que dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E} ^{\Omega }$ il n’y a qu’une infinité dénombrable de points de $\mathrm {E} ^{1}$. À chacun de ces points correspond un nombre fini ou transfini, indice du premier dérivé ne contenant pas ce point. Il y a une infinité dénombrable de ces nombres, soit $\alpha$ le plus grand d’entre eux, s’il y en a un plus grand que tous les autres et, s’il n’en est pas ainsi, soit $\alpha$ le plus petit de ceux qui les surpassent. Le dérivé $\mathrm {E} ^{\alpha }$ est identique à $\mathrm {E} ^{\Omega }$, donc :

VII. Tout ensemble a l’un de ses dérivés parfait.

VIII. Tout ensemble fermé est la somme d’un ensemble dénombrable et d’un ensemble parfait^[1].

Les ensembles fermés sont donc dénombrables ou ont la puissance du continu, suivant que leur dérivé parfait ne contient aucun point, ou en contient ; c’est-à-dire suivant qu’ils sont réductibles ou non. Mais un ensemble non fermé peut être non réductible et dénombrable ; c’est le cas de l’ensemble des valeurs rationnelles.

FIN.

1. On remarquera que la démonstration du théorème VIII ne suppose connus, ni la notion, ni même le mot de nombre transfini. Au contraire, dans la démonstration du théorème VII, j’emploie les nombres transfinis.

   Pendant la correction des épreuves, j’ai eu connaissance d’une lettre adressée à M. Borel par M. Ernst Lindelöf, et dans laquelle celui-ci indique une démonstration du théorème VIII qui me paraît identique à celle du texte.