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l’autre. La somme des longueurs des $\delta$ est donc au plus deux fois la longueur d’un intervalle contenant $\mathrm {E} ^{i}$ ; les intervalles $\delta$ forment un ensemble dénombrable.

Ainsi les points de $\mathrm {E} ^{1}$ qui n’appartiennent pas à $\mathrm {E} ^{2}$ forment un ensemble $\mathrm {B} _{1}$ dénombrable, ceux de $\mathrm {E} _{\beta }$ qui n’appartiennent pas à $\mathrm {E} ^{\beta +1}$ forment un ensemble dénombrable $\mathrm {B} _{\beta }$. Or l’ensemble considéré dans la propriété V est l’ensemble des points de la somme des $\mathrm {B} _{\beta }$ pour ${\beta <\alpha }$, donc il est dénombrable.

Les ensembles dont l’un des dérivés ne contient aucun point sont dits réductibles ; ils sont dénombrables, car, d’après V, pour un tel ensemble $\mathrm {E}$, $\mathrm {E} _{1}$ est dénombrable ; tous les points de $\mathrm {E} _{1}$ sont des points de $\mathrm {E} _{1}$ ou des intervalles contigus à $\mathrm {E} _{1}$, lesquels sont en nombre fini ou dénombrable. Dans un intervalle intérieur à un intervalle contigu à $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E}$ n’a pas de points limites, donc est fini et par suite il est dénombrable dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E} _{1}$. $\mathrm {E}$ est dénombrable.

À la classe des ensembles non dénombrables appartiennent les ensembles parfaits :

VI. Tout ensemble parfait a la puissance du continu. — Cela est évident si l’ensemble contient un intervalle ; soit $\mathrm {E}$ un ensemble parfait non dense dont les points extrêmes sont $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$^[1]. $\mathrm {C_{AB}(E)}$ est un ensemble formé des points intérieurs à l’infinité dénombrable des intervalles contigus à $\mathrm {E}$. Rangeons ces intervalles en suite simplement infinie $\delta ,\delta _{2},\ldots$. À $\mathrm {A}$ faisons correspondre le point 0, à $\mathrm {B}$ le point 1, aux deux extrémités de $\delta _{i}$ le point , aux deux extrémités de $\delta _{2}$ le point 1/4 ou 3/4 suivant que $\delta _{2}$ est entre $\mathrm {A}$ et $\delta _{1}$ ou entre $\delta _{1}$ et $\mathrm {B}$. On continuera ainsi, faisant correspondre aux deux extrémités de $\delta _{n}$ le milieu de l’un des intervalles, définis par les points correspondant à $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n-1}$, ce milieu étant complètement défini par la condition que les points correspondant à $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n-1}$ se succèdent dans le même ordre que $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\delta _{1},\delta _{2},\ldots ,\delta _{n-1}$.

Soit $\mathrm {M}$ un point de $\mathrm {E}$ qui ne soit pas extrémité d’un intervalle contigu à $\mathrm {E}$, il est limite des extrémités d’intervalles $\delta _{i_{1}},\delta _{i_{2}},\ldots$. Les points correspondant à ces intervalles ont, il est facile de le voir, un point limite $\gamma$. On fait correspondre $\gamma$ à $\mathrm {M}$. De cette manière à tout point de $\mathrm {E}$ correspond un point et un seul de (0, 1), et à tout point de (0, 1) correspond un ou deux points de $\mathrm {E}$, donc $\mathrm {E}$ a la puissance du continu.

Considérons maintenant l’ensemble $\mathrm {E} ^{\Omega }$ commun à tous les dérivés de $\mathrm {E}$^[2]. Il est évidemment fermé, je dis qu’il est parfait. Pour le voir,

1. On suppose $\mathrm {E}$ borné, sinon on raisonnerait sur une partie bornée de $\mathrm {E}$.
2. L’indice $\Omega$ n’a pas d’autre but que de distinguer l’ensemble ainsi formé des dérivés. Si, ce qui n’est pas, $\mathrm {E} ^{\Omega }$ était différent de tous les dérivés, il y aurait lieu de considérer $\mathrm {E} ^{\Omega }$ comme une sorte de nouveau dérivé et par $\Omega$ on représenterait un symbole qui serait le premier venant après tous les nombres transfinis de la première classe. Un tel symbole serait ce que M. Cantor appelle le premier nombre transfini de la seconde classe.