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Un nombre transfini est dit plus petit qu’un autre lorsqu’il correspond à un dérivé venant avant celui correspondant à l’autre nombre transfini. Nous nous bornons d’ailleurs aux symboles utiles, nous ne continuerons la construction de ces symboles que tant que nous trouverons des dérivés contenant des points et différents de ceux qui les précèdent ; chaque nombre transfini n’a donc avant lui qu’un nombre fini ou une infinité dénombrable de nombres transfinis.

IV. L’ensemble des nombres transfinis n’est pas dénombrable. — Nous avons attaché des ensembles $\mathrm {A} _{1}$, $\mathrm {A} _{2}$, … aux nombres finis et des ensembles $\mathrm {A} _{\omega }$, $\mathrm {A} _{\omega +1}$, aux deux premiers nombres transfinis. Nous compléterons cette correspondance en convenant que si nous avons attaché $\mathrm {A} _{\alpha }$ au nombre $\alpha$, $\mathrm {A} _{\alpha +1}$ sera ${\mathrm {A} (\mathrm {A} _{\alpha },\mathrm {A} _{\alpha },\ldots )}$. Les nombres ${\alpha +1}$ auxquels s’applique cette définition sont ceux qui ont avant eux un dernier nombre transfini, ce sont ceux qui correspondent aux dérivés donnés par la première définition ; M. Cantor les appelle les nombres de la première espèce. Ceux de la deuxième espèce sont ceux qui correspondent à la deuxième définition des dérivés ; un tel nombre $\alpha$ est défini par l’ensemble de tous les nombres qui lui sont inférieurs. Rangeons ces nombres, qui forment un ensemble dénombrable, en suite simplement infinie $a$, $b$, $c$, … ; nous poserons ${\mathrm {A} _{\alpha }=\mathrm {A} (a,b,c,\ldots )}$^[1].

Ces deux procédés de construction sont applicables tant que l’on n’a encore qu’une infinité dénombrable de nombres ; ils donnent toujours un ensemble $\mathrm {A} _{\alpha }$ dont le $\alpha$^ième dérivé ne contient que le point 0 ; il est donc absurde de supposer qu’on épuise la suite des nombres transfinis à l’aide d’une infinité dénombrable d’opérations.

III. — Les ensembles réductibles et les ensembles parfaits.

Il existe deux grandes classes d’ensembles : les ensembles dénombrables et les ensembles non dénombrables. À la première classe appartiennent les ensembles dont l’un des dérivés ne contient aucun point^[2] ; cela résulte immédiatement de la proposition suivante :

V. Les points de $\mathrm {E} ^{1}$ qui ne font pas partie de $\mathrm {E} ^{\alpha }$, ($\alpha >1$), forment un ensemble dénombrable. — En effet, les points de $\mathrm {E} ^{1}$ qui n’appartiennent pas à $\mathrm {E} ^{2}$ sont isolés dans $\mathrm {E} ^{1}$, donc chacun d’eux peut être enfermé dans un intervalle ne contenant qu’un point de $\mathrm {E} ^{1}$. Sur l’un de ces intervalles $\delta$, deux autres, au plus, $\delta _{1}$ et $\delta _{2}$, empiètent et ils n’empiètent pas l’un sur

1. Il y a là une difficulté qui provient du fait qu’on ne donne pas la loi de formation de la suite $a$, $b$, $c$, …. Si l’on savait donner cette loi les ensembles $\mathrm {A} ^{\alpha }$ pourraient servir à noter les nombres iransfinis.
2. D’après III, le premier dérivé pour lequel il en est ainsi ne peut correspondre à un nombre de la seconde espèce.