Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/145

de manière qu’un même dérivé $\mathrm {A} ^{\alpha _{0}}$ de $\mathrm {A}$ corresponde d’abord à un dérivé de $\mathrm {B}$, puis à un autre dérivé de $\mathrm {B}$. Supposons cela possible et considérons seulement les dérivés $\mathrm {A} ^{\alpha }$, où $\alpha$ est au plus égal à $\alpha _{0}$ ; nous aurons deux applications successives de l’ensemble de ces $\mathrm {A} ^{\alpha }$ sur deux parties différentes $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} _{1}$ de l’ensemble des $\mathrm {B} ^{\beta }$. $\mathrm {P}$ est contenue dans $\mathrm {P} _{1}$ ou $\mathrm {P} _{1}$ dans $\mathrm {P}$. Supposons que $\mathrm {P} _{1}$ soit contenue dans $\mathrm {P}$. Alors dans l’application des $\mathrm {A} ^{\alpha }$ sur $\mathrm {P}$ on fait correspondre aux $\mathrm {B} ^{\beta }$ de $\mathrm {P} _{1}$ les dérivés d’une partie $\mathrm {Q}$ de l’ensemble des $\mathrm {A} ^{\alpha }$.

À un $\mathrm {A} ^{\alpha }$ quelconque correspond dans l’application sur $\mathrm {P} _{1}$ un $\mathrm {B} ^{\beta }$, à ce $\mathrm {B} ^{\beta }$ correspond dans l’application $\mathrm {P}$ un $\mathrm {A} ^{\alpha }$, on pourrait donc réaliser l’application de l’ensemble des $\mathrm {A} ^{\alpha }$ sur l’une $\mathrm {Q}$ de ses parties^[1]. Or cela est impossible car $\mathrm {A} ^{1}$ doit nécessairement correspondre à $\mathrm {A} ^{1}$, $\mathrm {A} ^{2}$ à $\mathrm {A} ^{2}$, et ainsi de suite, et l’on démontrerait qu’il n’en peut être ainsi pour une certaine famille de dérivés $\mathrm {A} ^{1}$, $\mathrm {A} ^{2}$, …, sans en être aussi de même pour le premier dérivé qui suit ceux écrits.

Enfin par des raisonnements de même nature on démontrera que si dans la correspondance il est possible d’épuiser les dérivés de $\mathrm {A}$, sans épuiser ceux de $\mathrm {B}$, il est impossible de réaliser la correspondance satisfaisant aux conditions énoncées et telle, de plus, que les dérivés de $\mathrm {B}$ soient épuisés avant ceux de $\mathrm {A}$.

II. — Les nombres transfinis.

Si, comme il a été dit, on met aux lettres $\mathrm {E}$ et $\mathrm {F}$ différents indices distinguant les dérivés des ensembles $\mathrm {E}$ et $\mathrm {F}$, on pourra convenir d’employer les mêmes indices pour les dérivés de $\mathrm {E}$ et de $\mathrm {F}$ qui se correspondent dans l’application dont il vient d’être parlé. Les symboles ainsi choisis une fois pour toutes comme indices sont les nombres entiers finis 1, 2, 3, … et d’autres signes qu’on appelle les nombres transfinis^[2].

1. Il faut remarquer que c’est une partie commençant à $\mathrm {A} ^{1}$ et contenant des dérivés consécutifs, c’est-à-dire ce que M. Cantor appelle un segment. S’il s’agissait d’une partie quelconque, il n’y aurait pas impossibilité.
2. Une notation régulière de ces symboles n’a jamais été donnée ; il est d’ailleurs évidemment impossible de noter tous ces symboles par des combinaisons en nombre fini quelconque d’un nombre fini de symboles, car, comme nous allons le voir, leur ensemble a une puissance supérieure au dénombrable. Il paraît donc impossible de donner une loi permettant d’écrire effectivement à l’aide d’une notation régulière l’un quelconque d’entre eux.

   Relativement à la numération des nombres transfinis, on lira avec intérêt ce qui concerne la forme normale des nombres transfinis dans les Mémoires de M. G. Cantor, traduits par M. F. Marotte sous le titre de Fondements d’une théorie des ensembles transfinis (Paris, Hermann).

   Dans le même Ouvrage se trouvent développées les propriétés des ensembles bien ordonnés que j’ai utilisées dans l’étude des ensembles dérivés.