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Lorsqu’un dérivé contient une infinité de points et n’est pas parfait, il y a lieu de considérer son dérivé qui est, par définition le premier dérivé qui vienne après lui. Une seconde définition est nécessaire ; soient $\mathrm {E} ^{\alpha },\mathrm {E} ^{\beta },\ldots$ sont des dérivés en nombre fini ou dénombrable, s’ils contiennent tous des points et s’ils sont différents deux à deux il existe des points qui leur sont communs à tous ; pour le voir, il suffit de faire un raisonnement analogue à celui employé pour la proposition II. L’ensemble de tous ces points peut être identique à l’un $\mathrm {E} ^{\gamma }$ des ensembles donnés, alors $\mathrm {E} ^{\gamma }$ vient après tous les autres ensembles donnés, ou bien il n’est identique à aucun des ensembles donnés et il constitue par définition le premier dérivé venant après $\mathrm {E} ^{\alpha },\mathrm {E} ^{\beta },\ldots$. Pour que cette définition soit acceptable, il faut que, sans que le dérivé obtenu change, on puisse remplacer les dérivés donnés par les dérivés $\mathrm {E} ^{\alpha '},\mathrm {E} ^{\beta '},\ldots$ tels que l’un quelconque des $\mathrm {E} ^{\alpha }$ fasse partie des $\mathrm {E} ^{\alpha '}$ ou soit avant l’un d’eux et inversement. On vérifie facilement qu’il en est bien ainsi.

La seconde de ces définitions ne s’applique que dans le cas où une infinité dénombrable d’ensembles dérivés a été définie, et seulement une infinité dénombrable. La première suppose que dans l’ensemble des dérivés définis il y a un dernier dérivé, de sorte que les dérivés obtenus par l’application de ces deux définitions ont avant eux au plus une infinité dénombrable d’ensembles dérivés.

Nous pouvons énoncer la proposition :

III. Lorsque des dérivés en nombre fini ou dénombrable d’un ensemble $\mathrm {E}$ contiennent tous des points, il existe des points communs à tous ces dérivés. Ces points constituent le premier dérivé qui ne vient avant aucun des dérivés donnés.

Considérons les dérivés successifs de deux ensembles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$. Nous n’écrivons que les dérivés différents qui contiennent effectivement des points. Faisons correspondre $\mathrm {A} ^{1}$ à $\mathrm {B} ^{1}$, $\mathrm {A} ^{2}$ à $\mathrm {B} ^{2}$, …, $\mathrm {A} ^{\omega }$ à $\mathrm {B} ^{\omega }$, etc. En opérant ainsi, on fait correspondre tous les premiers dérivés de $\mathrm {A}$ à tous les premiers dérivés de $\mathrm {B}$, l’ordre étant conservé. Je dis que cette correspondance peut être poursuivie assez loin pour épuiser, soit les dérivés de $\mathrm {A}$, soit ceux de $\mathrm {B}$. En effet, la correspondance peut être établie entre les premiers dérivés entre $\mathrm {A} ^{1},\mathrm {A} ^{2},\ldots$ et $\mathrm {B} ^{1},\mathrm {B} ^{2},\ldots$. Je suppose écrits tous les dérivés de $\mathrm {A}$ pour lesquels cette correspondance peut être établie ; alors, ou bien il y a un de ces dérivés après tous les autres, ou bien cela n’est pas et dans les deux cas on sait définir le dérivé de $\mathrm {A}$ qui suit tous ceux écrits. Si l’on fait correspondre ce dérivé de $\mathrm {A}$ à celui de $\mathrm {B}$ qui suit tous ceux écrits, la correspondance est réalisée pour d’autres ensembles dérivés que ceux écrits ; il était donc absurde de supposer qu’elle n’était réalisable que pour ceux-là.

La correspondance peut donc être réalisée jusqu’à complet épuisement des dérivés de $\mathrm {A}$ ou de $\mathrm {B}$. Supposons que ce soit les dérivés de $\mathrm {A}$ qui soient épuisés. Je dis que cette correspondance n’est possible que d’une manière ; en d’autres termes, il n’est pas possible de réaliser les conditions énoncées