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sont tous identiques. Dans ce cas, la définition de $\mathrm {E} ^{2},\mathrm {E} ^{3},\ldots$ ne présente pas d’intérêt. Mais ces ensembles peuvent être tous distincts. Voici le procédé de construction que nous emploierons pour le voir :

Soient des ensembles $e_{1},e_{2},\ldots$. Divisons (0, 1) en intervalles partiels $\left({\frac {1}{2}},1\right),\left({\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{2}}\right),\left({\frac {1}{2^{3}}},{\frac {1}{2^{2}}}\right),\ldots$. Effectuons sur $e_{i}$ la transformation homothétique qui remplace le plus petit intervalle contenant $e_{i}$ par $\left({\frac {1}{2^{i}}},{\frac {1}{2^{i-1}}}\right)$ ; $e_{i}$ devient ${\mathcal {E}}_{i}$. La somme de ces ensembles ${\mathcal {E}}_{i}$ sera notée ${\mathrm {A} (e_{1},e_{2},\ldots )}$.

Si $e_{1},e_{2},\ldots$ contiennent chacun un nombre fini de points,

${\mathrm {A} _{1}=\mathrm {A} (e_{1},e_{2},\ldots )}$

est un ensemble pour lequel $\mathrm {E^{1}}$ se réduit au point 0. Si $e_{1},e_{2},\ldots$ sont identiques à $\mathrm {A} _{1}$ on obtient ${\mathrm {A} _{2}=\mathrm {A} (\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{1},\ldots )}$ pour lequel ${\mathcal {E^{2}}}$ se réduit au point 0. Et ainsi de suite.

Si ${e_{1}=\mathrm {A} _{1},e_{2}=\mathrm {A} _{2},\ldots }$, pour ${\mathrm {A} (\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{2},\ldots )}$, les dérivés ${\mathcal {E^{1}}},{\mathcal {E^{2}}},\ldots$ contiennent tous des points.

II. Lorsque les dérivés ${\mathcal {E^{1}}},{\mathcal {E^{2}}},\ldots$ contiennent tous des points, il existe des points communs à tous ces dérivés. Soit, en effet, $\mathrm {M} _{i}$ un point de $\mathrm {E} ^{i}$ ; $\mathrm {M} _{i}$ est aussi point de $\mathrm {E} ^{i-1},\mathrm {E} ^{i-2},\ldots ,\mathrm {E} ^{1}$. L’ensemble ${\mathcal {M^{1}}},{\mathcal {M^{2}}},\ldots$ a au moins un point limite qui, étant limite des points $\mathrm {M} _{i},\mathrm {M} _{i+1},\ldots$ de $\mathrm {E} ^{i}$, est point de $\mathrm {E} ^{i+1}$. Ce point appartient donc à tous les $\mathrm {E} ^{i}$.

L’ensemble des points dont l’existence est ainsi démontrée est appelé le $\omega$^ième dérivé $\mathrm {E} ^{\omega }$.

Pour ${\mathrm {A} _{\omega }=\mathrm {A} (\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{2},\ldots )}$, $\mathrm {E} ^{\omega }$ contient le seul point 0. Le dérivé de $\mathrm {E} ^{\omega }$ se note $\mathrm {E} ^{\omega +1}$, il se réduit au point 0 pour ${\mathrm {A} (\mathrm {A} _{\omega },\mathrm {A} _{\omega },\ldots )=\mathrm {A} _{\omega +1}}$. Les dérivés successifs de $\mathrm {E} ^{\omega }$ se notent $\mathrm {E} ^{\omega +1},\mathrm {E} ^{\omega +2},\ldots$. Il ne faut attacher aucune importance à la forme particulière des indices ici employés ; en fait, on est vite obligé de renoncer à leur donner une forme déterminée à l’avance par une loi précise, on met comme indices des symboles quelconques qui ont pour but de distinguer les différents dérivés d’un même ensemble. Nous appellerons ces symboles les nombres transfinis de la première classe ou, pour abréger, les nombres transfinis^[1] ; mais, avant d’étudier ces symboles, il faut démontrer que ce sont les mêmes qui peuvent servir quel que soit l’ensemble dont on prend les dérivés et pour cela préciser la définition de ces dérivés.

Nous dirons de deux dérivés d’un même ensemble que l’un d’eux vient après l’autre s’il est contenu dans cet autre. Avec cette convention les mots avant et après peuvent être employés comme dans le langage ordinaire.

1. M. Cantor considère d’autres nombres transfinis que ceux dont il est question ici, mais ces nombres ne sont pas utiles dans l’études des ensembles dérivées.