Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/141

est sommable dans l’ensemble des points où elle est finie, mais sa fonction primitive n’est pas nécessairement $f(x)$, comme le montre l’exemple de la fonction $\xi (x)$ de la page 55. Le théorème qui vient d’être démontré est donc différent de celui concernant la dérivation des intégrales indéfinies ; en d’autres termes, il existe des fonctions continues à variation bornée, $\xi (x)$ par exemple, qui ne sont pas des intégrales indéfinies^[1].

1. Pour qu’une fonction soit intégrale indéfinie, il faut de plus que sa variation totale dans une infinité dénombrable d’intervalles de longueur totale $l$, tende vers zéro avec $l$.

   Si, dans l’énoncé de la page 94, on n’assujettit pas $f(x)$ à être bornée, ni ${\mathrm {F} (x)}$ à être à nombres dérivés bornés, mais seulement à la condition précédente, on a une définition de l’intégrale équivalente à celle développée dans ce Chapitre et applicable à toutes les fonctions sommables, bornées ou non.