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S’il n’en était pas ainsi, les points où l’un, convenablement choisi, des quatre nombres dérivés de $f(x)$ serait infini, formeraient un ensemble de mesure non nulle. On pourrait alors reprendre le raisonnement des pages 121 et 122 pour évaluer $f(x)$ à l’aide de ce nombre dérivé ${\Lambda f(x)}$, mais parmi les $l_{i}$ figurerait l’un des nombres ${l_{-\infty }=-\infty }$, ${l_{+\infty }=+\infty }$, et l’on aurait les ensembles $e_{-\infty }$, $e_{+\infty }$, l’un d’eux étant de mesure non nulle^[1]. L’intervalle que l’on attacherait au point $x$ de $e_{+\infty }$ serait le plus grand intervalle ${(x,x+h)}$ de longueur au plus égale à $\varepsilon$, contenu dans celui $\mathrm {A} '_{-\infty }$ des $\mathrm {A} _{-\infty }$ contenant $x$ et tel que l’on ait

$\mathrm {M} \leqq {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$,

$\mathrm {M}$ étant choisi arbitrairement. La chaîne d’intervalle correspondante donnera une valeur approchée de la variation totale qu’on pourra faire croître indéfiniment avec $\mathrm {M}$ et ${\frac {1}{\varepsilon }}$ si $l_{+\infty }$ est de mesure non nulle et si l’on a pris

$\mathrm {M} a_{+\infty }+\mathrm {M} a_{-\infty }+\sum _{-\infty }^{+\infty }|l_{i}|a_{i}<\varepsilon$ ;

ceci est contraire à l’hypothèse, $\mathrm {E}$ est de mesure nulle.

Or, par hypothèse, $f(x)$ est variation bornée, donc $x_{s}'$ est nul pour un ensemble de valeurs de $s$ de mesure nulle. $y_{s}'$ existe donc et est finie sauf pour un ensemble de valeurs de $s$ de mesure nulle. Mais aux valeurs de $s$, formant un intervalle $\delta$, correspondent des valeurs de $x$ formant un intervalle $\delta _{1}$ au plus égal à $\delta$ ; si l’on enferme les valeurs de $s$ d’un ensemble $\mathrm {E}$ dans des intervalles de longueur totale $l$, les valeurs correspondantes de $x$ forment un ensemble $\mathrm {E} _{1}$ qu’on peut enfermer dans les intervalles correspondants de longueur totale au plus égal à $l$. À un ensemble de valeurs de $s$ de mesure nulle correspond donc un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle.

Il est ainsi démontré que toute fonction à variation bornée $f(x)$ a une dérivée finie sauf pour les valeurs de $x$ d’un ensemble de mesure nulle. Le raisonnement de la page 122, tel qu’il vient d’être complété, montre même que cette dérivée

1. Les notations sont celles indiquées à la page 121.