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d’opérations que l’on avait l’habitude de considérer. Les principales de ces opérations étaient : les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racines), les opérations trigonométriques (avec les signes sin, cos, tang, arc sin, arc cos, arc tang), les opérations logarithmiques et exponentielles (avec les signes log, $a^{x}$).

Pour un grand nombre de fonctions exprimées de cette manière on avait pu exprimer, de la même manière, les fonctions primitives, de sorte qu’il apparaissait comme certain que toute fonction admet une fonction primitive. D’ailleurs on pouvait répondre à qui doutait de cette proposition.

Soit (fig. 1) la courbe ${\Gamma ,\,y=f(x)}$, représentant la fonction Fig. 1.
donnée $f(x)$ ; les axes sont rectangulaires. Supposons, pour simplifier, $f(x)$ positive ; soient ${a\mathrm {A} }$, ${b\mathrm {B} }$ deux parallèles à l’axe des $y$, d’abscisses $a$ et $x$. Ces deux parallèles, l’arc $\mathrm {AB}$ de $\Gamma$, le segment $ab$ de $\mathrm {O} x$, limitent un domaine d’aire $\mathrm {S} (x)$. En évaluant l’accroissement $b\mathrm {BC} c$ de cette aire, on voit que $f(x)$ est la dérivée de $\mathrm {S} (x)$^[1].

Remarquons que dans les considérations précédentes le mot fonction a déjà reçu une extension considérable. La relation entre $\mathrm {S} (x)$ et $x$ est en effet une relation géométrique et non plus une

1. Pour la démonstration et pour le cas où $f(x)$ n’est pas toujours positive, voir Goursat, Cours d’Analyse mathématique, t. I, Chap. IV, ou Humbert, Cours d’Analyse professé à l’École Polytechnique, t. I, 2^e partie, Chap. III.