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Considérons une courbe rectifiable ; exprimons ses coordonnées à l’aide de l’arc $s$^[1] ; alors on a, en général,

${x_{s}'}^{2}+{y_{s}'}^{2}+{z_{s}'}^{2}=1$.

Soit $\sigma$ l’arc de la courbe ${(x,y,0)}$ projection sur le plan des $xy$ ; $\sigma$ est une fonction de $s$ à nombres dérivés bornés et l’on a

${\begin{aligned}{\sigma _{s}'}^{2}&={x_{s}'}^{2}+{y_{s}'}^{2}{\text{,}}\\1&={\sigma _{s}'}^{2}+{z_{s}'}^{2}{\text{,}}\end{aligned}}$

sauf pour un ensemble de points de mesure nulle.

De là résulte que l’ensemble $\mathrm {A}$ des points où $\sigma _{s}'$ et $z_{s}'$ sont nuls en même temps est de mesure nulle. Sauf aux points de $\mathrm {A}$, ${\frac {\sigma _{s}'}{z_{s}'}}$ a une valeur déterminée finie ou infinie. Si $\sigma _{s}'$ est nul et $z_{s}'$ non nul, la courbe a une tangente parallèle à $oz$ ; si $s$ n’appartient pas à $\mathrm {A}$ et si $\sigma _{s}'$ est différent de 0, puisque ${{\sigma _{s}'}^{2}={x_{s}'}^{2}+{y_{s}}^{2}}$, $x_{s}'$ et $y_{s}'$ ne sont pas nuls à la fois, la courbe a une tangente.

Les courbes rectifiables ont donc en général des tangentes, les points où il n’y a pas de tangentes correspondent à un ensemble de valeurs de l’arc dont la mesure est nulle^[2]. Ce sont ces points que l’on peut négliger dans le calcul de l’arc à l’aide de l’intégrale de ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$.

Soit $f(x)$ une fonction à variation bornée continue, appliquons la propriété qui précède à la courbe ${y=f(x)}$. Cette courbe a, en général, des tangentes^[3] ; si $s$ est son arc, $x_{s}'$ et $y_{s}'$ existent sauf pour un ensemble de valeurs de $s$ de mesure nulle. Sauf aux points de cet ensemble et à ceux de l’ensemble $\mathrm {E}$ où $x_{s}'$ est nulle, $y_{s}'$ existe et est finie. Je dis que $\mathrm {A}$ est de mesure nulle.

mesure les résultats précédents sont indépendants de l’hypothèse que $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ sont à nombres dérivés bornés. On verra aussi que les nombres dérivés peuvent remplacer les dérivées dans l’expression de l’arc lorsqu’ils sont bornés. Comme cas particulier, on trouvera que la variation totale de ${\int f\,\mathrm {d} x}$ est ${\int |f|\,\mathrm {d} x}$.

1. Cela n’est possible que si $x$, $y$ et $z$ ne restent pas tous trois constants dans un certain intervalle.
2. Malgré la restriction signalée dans la Note précédente cet énoncé est tout à fait général.
3. Car $x$ ne restant jamais constant, puisque c’est lui le paramètre, nous ne sommes pas dans le cas d’exception signalé aux notes précédentes.