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intervalles $\mathrm {A} _{n}$ dont les parties communes avec d’autres $\mathrm {A} _{n+q}$ ont une longueur totale au plus égale à $a_{n}$ ; les nombres $a_{n}$ étant tels que la série ${\sum \textstyle |l_{n}|a_{n}}$ soit convergente et de somme $\varepsilon$. À tout point $t$ de $e_{p}$ attachons le plus grand intervalle ${(t,t+h)}$ d’origine $t$, de longueur au plus égale à $\varepsilon$, intérieur à celui des $\mathrm {A} _{n}$ qui contient $t$ et tel que

${\begin{aligned}l_{n}&\leqq {\sqrt {[x(t+h)-x(t)]^{2}+[y(t+h)-y(t)]^{2}+[z(t+h)-z(t)]^{2}}}\\&\leqq l_{n+1}+\varepsilon {\text{.}}\end{aligned}}$

À un point $t$ de $\mathrm {E}$, nous attachons le plus grand intervalle ${(t,t+h)}$ d’origine $t$, de longueur au plus égale à $\varepsilon$ et contenu dans celui des $\mathrm {A}$ qui contient $t$.

Avec ces intervalles, on peut couvrir (0, 1), à partir de 0, par une chaîne d’intervalles qu’on peut employer pour le calcul de l’arc. Cela donne une valeur approchée de l’arc différant de moins de ${\varepsilon (b-a)+\varepsilon }$ de ${\sigma =\textstyle \sum l_{i}m(\mathrm {A} '_{i})}$, en désignant par $\mathrm {A} '$ les intervalles employés provenant des points de $e_{i}$. Les points de $\mathrm {A} _{i}$ qui ne font pas partie de $\mathrm {A} '_{i}$ sont des points de $\mathrm {A}$ ou de $\mathrm {A} _{i+j}$ ($j\neq 0$). Or les points de ${\mathcal {E}}$ contenus dans $\mathrm {A}$ fournissent, dans

$\sigma _{1}=\textstyle \sum l_{i}\,m(\mathrm {A} _{i})$,

une contribution qui diffère de moins de ${\varepsilon (b-a)}$ de l’intégrale de $p(t)$ dans $\mathrm {A}$ ; c’est-à-dire qu’ils donnent une contribution au plus égale à ${\varepsilon (b-a)+\varepsilon }$. D’autre part, les points des $\mathrm {A} _{i}$ qui font partie des $\mathrm {A} _{i+j}$ ($j\neq 0$) fournissent, dans $\sigma _{1}$, une contribution au plus égale à ${\textstyle \sum l_{i}|a_{i}|=\varepsilon }$. Donc ${\sigma _{1}-\sigma }$ tend vers zéro avec $\varepsilon$ et comme, dans ces conditions, $\sigma _{1}$ tend vers $l$, la propriété est démontrée.

La fonction $s(t)$ qui représente l’arc, étant l’intégrale indéfinie de $p(t)$, admet $p(t)$ pour dérivée, sauf pour les points d’un ensemble de mesure nulle.

Ainsi lorsqu’une courbe rectifiable est définie à l’aide de fonctions de $t$ à nombres dérivés bornés, on a la relation

${s'}^{2}={x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}$,

sauf pour des valeurs de $t$ formant un ensemble de mesure nulle^[1].

1. En reprenant les raisonnements employés, on verra facilement dans quelle