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cette fonction pour dérivée sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle^[1].

Si l’on rapproche cet énoncé de la définition proposée à la page 94, on reconnaît que cette définition est exactement équivalente pour les fonctions bornées à celle étudiée dans ce Chapitre. L’intégration des fonctions sommables bornées est donc, en un certain sens, l’opération inverse de la dérivation.

VII. — La rectification des courbes.

Soit une courbe rectifiable

$x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad z=z(t),$

définie dans ${(a,b)}$ par les fonctions $x(t),y(t),z(t)$ à nombres dérivés bornés. Ces fonctions admettent toutes trois à la fois des dérivées, sauf pour un ensemble de valeurs de $t$ de mesure nulle, $\mathrm {E}$, et soit $\mathrm {E}$ le complémentaire de $\mathrm {E}$. Nous allons démontrer que la longueur de la courbe est

$l=\int _{\mathcal {E}}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$.

Remarquons d’abord que, dans un intervalle ${(t_{0},t_{1})}$, l’arc $s$ croît au plus de ${\mathrm {M} {\sqrt {3}}(t_{1}-t_{0})}$ si les nombres dérivés de $x,y,z$ sont inférieurs en valeur absolue à $\mathrm {M}$. Donc on peut enfermer les points de $\mathrm {E}$ dans des intervalles $\mathrm {A}$ dont la contribution dans $s$ est inférieure à $\varepsilon$ et dont la contribution dans l’intégrale $l$ est aussi inférieure à $\varepsilon$.

Ceci posé, partageons l’intervalle fini de variation de

$p(t)={\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$

à l’aide de nombres $l_{i}$ tels ${l_{i+1}-l_{i}}$ soit inférieur à $\varepsilon$. $e_{n}$ étant l’ensemble ${\mathrm {E} (l_{n}<p(t)\leqq l_{n+1})}$ nous pouvons enfermer $e_{n}$ dans des

1. On pourrait déduire de ce résultat la possibilité d’intégrer par partie. Le raisonnement qui vient d’être employé conduit à une autre propriété :

   Toute fonction mesurable est continue, sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, quand on néglige les ensembles de mesure $\varepsilon$, si petit que soit $\varepsilon$.

   Voir Borel, Comptes rendus, 7 décembre 1903 ; Lebesgue, Comptes rendus, 28 décembre 1903.