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dans des intervalles $\mathrm {A} _{p}$ dont la somme des longueurs est ${m(\mathrm {E} )+\varepsilon _{p}}$ et faisons tendre $\varepsilon _{p}$ vers zéro. L’ensemble ${\mathcal {E}}$ commun à $\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{2},\ldots$, contient $\mathrm {E}$ et n’en diffère que par un ensemble de mesure nulle, de sorte que, dans le calcul de $\Psi$, on peut remplacer $\psi$ par $\psi '$ tel que ${\mathrm {E} (\psi '=1)={\mathcal {E}}}$. $\psi '$ est la limite vers laquelle tendent en décroissant les fonctions $\psi _{p}$ attachées à $\mathrm {A} _{p}$, ${\mathrm {E} (\psi _{p}=1)=\mathrm {A} _{p}}$ ; soit $\Psi _{p}$ l’intégrale indéfinie de $\psi _{p}$. Dans tout intervalle positif, l’accroissement de $\Psi _{p}$ est au moins égal à celui de $\Psi$, de sorte que

$\Lambda \Psi _{p}\geqq \Lambda \Psi \geqq 0$,

$\Lambda$ étant l’un quelconque des nombres dérivés.

Mais ${\Lambda \Psi _{p}}$ étant égal à 1 pour tous les points intérieurs aux intervalles $\mathrm {A} _{p}$, n’est différent de zéro qu’en ces points et en un ensemble de points de mesure nulle. Par suite, ${\Lambda \Psi }$ n’est différent de zéro qu’en des points de ${\mathcal {E}}$ (ou de $\mathrm {E}$) et en un ensemble de points de mesure nulle. Mais, puisque ${\Lambda \Psi }$ n’est jamais supérieur à I, que $\Psi$ est l’intégrale de ${\Lambda \Psi }$ et que, si $\mathrm {E}$ est contenu dans ${(a,b)}$,

$\Psi (b)-\Psi (a)=m(\mathrm {E} )$,

${\Lambda \Psi }$ est égal à 1 pour les points de $\mathrm {E}$, sauf pour les points d’un ensemble de mesure nulle. Cela étant vrai pour l’un quelconque des nombres dérivés, $\psi$ est la dérivée de $\Psi$, sauf pour les points d’un ensemble de mesure nulle.

Soit maintenant la fonction sommable $f$, reprenant les notations de la page 101 nous considérons $f$ comme la limite vers laquelle les fonctions $\varphi$ tendent en croissant quand le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tend vers zéro. $\varphi$ est la dérivée de son intégrale indéfinie, sauf pour un ensemble de mesure nulle, car c’est une somme de fonctions $\psi$. On déduit de là, en faisant tendre ${l_{i+1}-l_{i}}$ vers zéro, que les nombres dérivés de l’intégrale indéfinie $\mathrm {F}$ de $f$ sont au moins égaux à $f$ sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, car dans tout intervalle l’accroissement de l’intégrale de $f$ est au moins égal à celui de l’intégrale de $\varphi$. De même, en considérant les fonctions $\Phi$ qui tendent vers $f$ en décroissant, on voit que ces nombres dérivés sont, sauf en un ensemble de mesure nulle, au plus égaux à $f$, donc l’intégrale indéfinie d’une fonction sommable admet