Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/135

supposé fini, soit sommable, il faut et il suffit que cette fonction soit à variation bornée ; sa variation totale est l’intégrale de la valeur absolue du nombre dérivé.

Si, reprenant le raisonnement précédent, on se sert des intervalles employés pour calculer l’accroissement ${f(b)-f(a)}$ de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, on voit que l’intégrale indéfinie d’un nombre dérivé sommable est la fonction $f$ dont il est le nombre dérivé.

Ainsi nous savons résoudre les problèmes B, B′, C, C′ quand la fonction donnée est bornée ou quand on sait que la fonction inconnue ne peut être à variation non bornée.

Voici d’autres conséquences : soit une fonction $f$ ayant ses nombres dérivés à droite partout finis, on a

$f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}\Lambda _{d}(f)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lambda _{d}(f)\,\mathrm {d} x$

donc ${\Lambda _{d}-\lambda _{d}}$ est une fonction non négative d’intégrale nulle et, par suite, elle est partout nulle, sauf peut-être aux points d’un ensemble de mesure nulle. Sauf en ces points, $f$ a donc une dérivée à droite.

On peut aller plus loin et démontrer qu’une fonction à variation bornée et à nombres dérivés finis a une dérivée pour un ensemble de points dont le complémentaire est de mesure nulle ; de plus une telle fonction est l’intégrale indéfinie de sa dérivée considérée seulement pour l’ensemble des points où elle existe^[1]. Ces deux propriétés, qui s’appliquent en particulier aux fonctions à nombres dérivés bornés^[2], résultent des considérations suivantes :

Les intégrales indéfinies des fonctions sommables ont toutes, nous allons le voir, des dérivées en certains points ; nous comparerons cette dérivée à la fonction intégrée $f$. Considérons d’abord le cas d’une fonction mesurable $\psi$ ne prenant que les valeurs 0 et 1, soit $\Psi$ son intégrale indéfinie et posons ${\mathrm {E} (\psi =1)=\mathrm {E} }$. Enfermons $\mathrm {E}$

1. Ces deux propriétés sont vraies lorsque l’un seulement des quatre nombres dérivés est fini.
2. On s’explique ainsi que savoir qu’une fonction satisfait à la condition de Lipschitz soit souvent aussi utile que savoir qu’elle est dérivable.