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intervalles $\mathrm {I} _{n_{2}}$, les $\mathrm {A} _{n_{2}}$ et les $\mathrm {I} _{n_{2}}$ étant intérieurs aux $\mathrm {I} _{n_{1}}$ et ayant des parties communes de longueur au plus égale à $a_{n_{2}}$. On enfermera de même $e_{n_{3}}$ dans $\mathrm {A} _{n_{3}}$ et ${\mathrm {C} (e_{n_{1}}+e_{n_{2}}+e_{n_{3}})}$ dans $\mathrm {I} _{n_{3}}$, ces intervalles étant contenus dans $\mathrm {I} _{n_{2}}$ et ayant pour mesure de leurs parties communes $a_{n_{3}}$ au plus^[1].

En continuant ainsi, on enferme $e_{n}$ dans $\mathrm {A} _{n}$ et ${m(\mathrm {A} _{n})-m(e_{n})}$ est au plus $a_{n}$ ; de plus $\mathrm {A} _{n}$ n’a en commun avec les autres $\mathrm {A} _{n+p}$ que des intervalles, chacun d’eux étant compté une seule fois, de longueur totale inférieure à $a_{n}$.

Les deux sommes ${\textstyle \sum |l_{n}|\,m(e_{n})}$ et ${\textstyle \sum |l_{n}|\,m(\mathrm {A} _{n})}$ sont convergentes ou divergentes à la fois et, si elles convergent, elles diffèrent de moins de $\varepsilon$. Les deux expressions ${\int |\Lambda |\,\mathrm {d} x}$ et ${\textstyle \sum |l_{n}|\,m(\mathrm {A} _{n})}$ ont donc un sens en même temps et, si elles en ont un, elles diffèrent de moins de ${\varepsilon (b-a-1)}$, ${(a,b)}$ étant l’intervalle positif d’intégration. La même remarque s’applique aux deux expressions ${\int \Lambda \,\mathrm {d} x}$ et ${\textstyle \sum l_{n}\,m(\mathrm {A} _{n})}$.

Soit un point $x$ appartenant à $e_{p}$, $\mathrm {A} '_{p}$ celui des intervalles $\mathrm {A} _{p}$ qui contient $x$. Nous attachons à $x$ le plus grand intervalle ${(x,x+h)}$ contenu dans $\mathrm {A} '_{p}$, de longueur au plus égale à $\varepsilon$, et tel que

$l_{p}\leqq r[f(x),x,x+h]\leqq l_{p+1}\leqq \varepsilon$.

À l’aide des intervalles ainsi définis, on peut former une chaîne d’intervalles couvrant ${(a,b)}$ à partir de $a$ (p. 63). Cette chaîne peut servir à évaluer une valeur approchée de la variation totale de $f$. Cette valeur approchée ainsi trouvée $v$ est comprise entre ${v_{1}-\varepsilon (b-a)}$ et ${v_{1}+\varepsilon (b-a)}$ où ${v_{1}=\sum |l_{p}|\,m(\mathrm {B} _{p})}$, en désignant par $\mathrm {B} _{p}$ les intervalles employés dans la chaîne et qui proviennent des points de $e_{p}$. Les points de $\mathrm {A} _{p}$ qui ne font pas partie de $\mathrm {B} _{p}$ font nécessairement partie de l’un des ensembles $\mathrm {A} _{p+q}$ ($q\neq 0$), donc leur mesure est au plus égale à $a_{p}$ et $v_{1}$ diffère de ${\sum |l_{n}|\,m(\mathrm {A} _{n})}$ de moins de ${\sum a_{n}|l_{n}|<\varepsilon }$.

Donc, pour que l’un des nombres dérivés d’une fonction,

1. On suppose que l’on choisit les $\mathrm {A} _{n}$ de manière que ceux qui correspondent à un même indice n’empiètent pas les uns sur les autres, et de même des $\mathrm {I} _{n}$.