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Pour aller plus loin, démontrons que les nombres dérivés d’une fonction continue sont mesurables et même mesurables B. Considérons pour cela une suite de fonctions $u_{1},u_{2},\ldots$, et les fonctions ${\overline {u}},{\underline {u}}$ égales, pour chaque valeur de $x$, à la plus grande et à la plus petite des limites $u_{n}$ ; ce sont les enveloppes d’indétermination de la limite des $u$. Voici comment on peut obtenir l’enveloppe supérieure ${\overline {u}}$ ; $v_{i}$ est la fonction qui, pour chaque valeur de $x$, est égale à la plus grande des fonctions $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}$ ; $w_{i}$ est la limite de la suite de la suite croissante $v_{i},v_{i+1},v_{i+2},\ldots$ ; ${\overline {u}}$ est la limite de la suite décroissante $w_{1},w_{2},\ldots$. Si les $u_{i}$ sont des fonctions continues, il en est de même des $v_{i}$, les $w_{i}$ sont donc au plus de première classe et ${\overline {u}}$ au plus de seconde classe^[1]. Un raisonnement analogue s’applique à ${\underline {u}}$.

La définition des enveloppes d’indétermination aurait pu être donnée pour une fonction ${g(x,h)}$, où $h$ est un paramètre remplaçant l’indice de la fonction $u_{i}$. L’un des nombres dérivés de $f(x)$ est l’une des enveloppes d’indétermination de ${r[f(x),x,x+h]}$, quand on fait tendre $h$ vers zéro, par valeurs de signe déterminé. Mais ${r[f(x),x,x+h]}$ étant continue en ${(x,h)}$ pour ${h\neq 0}$, on peut, pour la recherche de ces enveloppes, remplacer l’infinité non dénombrable des valeurs de $h$ par une suite de valeurs de $h$ tendant vers zéro et convenablement choisies. Les nombres dérivés sont donc au plus de seconde classe et en tout cas.

Ceci posé, soit $\Lambda$ le nombre dérivé supérieur à droite de $f(x)$, nous le supposons fini. Prenons arbitrairement des nombres $l_{n}$ échelonnés de $-\infty$ à $+\infty$ quand $n$ parcourt la suite des nombres entiers de $-\infty$ à $+\infty$, et supposons que ${l_{n+1}-l_{n}}$ ne surpasse jamais $\varepsilon$. Prenons des nombres positifs $a_{n}$, tels que ${\sum _{-\infty }^{+\infty }a_{n}|l_{n}|}$ soit inférieure à $\varepsilon$. Désignons, pour abréger, ${\mathrm {E} (l_{n}<\Lambda \leqq l_{n+1})}$ par $e_{n}$, et rangeons les $e_{i}$ en suite simplement infinie $e_{n_{1}},e_{n_{2}},\ldots$. Enfermons $e_{n_{1}}$ dans des intervalles $\mathrm {A} _{n_{1}}$, et ${\mathrm {C} (e_{n_{1}})}$ dans des intervalles $\mathrm {I} _{n_{1}}$ choisis de manière que la somme de leurs parties communes soit au plus $a_{n_{1}}$. Enfermons $e_{n_{2}}$ dans des intervalles $\mathrm {A} _{n_{2}}$, et ${\mathrm {C} (e_{n_{1}}+e_{n_{2}})}$ dans des

1. Le même raisonnement montre que si les $u_{i}$ sont mesurables, ${\overline {u}}$ l’est aussi.