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tégrale de $f_{2}$ dans tout intervalle étant $2\varepsilon$ au plus, autour d’un point quelconque $x_{0}$, on peut donc trouver un intervalle dans lequel l’accroissement de $\mathrm {F} (x)$ soit au plus $3\varepsilon$, ce qui prouve que $\mathrm {F} (x)$ est continue.

Si $f(x)$ est sommable, $|f(x)|$ l’est aussi et, dans tout intervalle, l’intégrale indéfinie de $f(x)$ subit un accroissement en module inférieur à celui de l’intégrale indéfinie de $|f(x)|$ ; cette dernière intégrale étant croissante, toute intégrale indéfinie est à variation bornée.

Les propositions trouvées au Chapitre V (p. 69) relativement à la limitation des nombres dérivés de $\mathrm {F} (x)$ à l’aide des maxima et des minima de $f(x)$ sont encore exactes ; elles se démontrent de même^[1].

VI. — La recherche des fonctions primitives.

Occupons-nous de la recherche des fonctions primitives. Soit ${\mathcal {F}}(x)$ une fonction ayant une dérivée $f(x)$, nous savons que $f(x)$ est mesurable, car c’est une fonction de première classe. Supposons que $f(x)$ soit bornée, alors ${r[{\mathcal {F}}(x),x,x+h]}$ est aussi borné, quels que soient $x$ et $h$. Et puisque $f(x)$ est la limite pour ${h=0}$ de ${r[{\mathcal {F}}(x),x,x+h]}$ on peut écrire, d’après un théorème énoncé à la page 114,

$\int _{0}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h=0}{\frac {\int _{0}^{x}[{\mathcal {F}}(x+h)-{\mathcal {F}}(x)]\,\mathrm {d} x}{h}}={\mathcal {F}}(x)-{\mathcal {F}}(0)$,

car ${\mathcal {F}}(x)$ est une fonction continue.

Donc les intégrales indéfinies d’une fonction dérivée sont ses fonctions primitives. Nous avons résolu le problème fondamental du calcul intégral pour les fonctions bornées. De plus, nous avons un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si une fonction bornée est ou non une dérivée^[2].

1. Seulement on peut maintenant se servir des maxima et minima obtenus en négligeant les ensembles de mesure nulle, car si l’on modifie la valeur d’une fonction aux points d’un tel ensemble, on ne modifie pas l’intégrale de cette fonction.
2. Comparez avec la page 82.