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${m_{s,e}(\mathrm {E} )-m_{s,i}(\mathrm {E} )}$ est au moins égale à ${\varepsilon h}$. $\mathrm {E}$ et par suite $\mathrm {E} (\varphi )$ n’est donc mesurable que si $\varphi$ est mesurable.

Supposons que $\varphi$ bornée soit mesurable et partageons l’intervalle de variation de $\varphi$ à l’aide de nombres $l_{i}$. Soit $\mathrm {E}$ la partie de $\mathrm {E} (\varphi )$ comprise entre ${y=l_{i-1}}$ et ${y=l_{i}}$, nous allons évaluer sa mesure. Enfermons dans des intervalles $a$ les points de ${\mathrm {E} (\varphi \geqq l_{i})}$ et ceux de ${\mathrm {C} [\mathrm {E} (\varphi \geqq l_{i})]}$ dans des intervalles $b$, soient $c$ les intervalles faisant partie des $a$ et des $b$. Considérons l’ensemble ${\mathcal {A}}$ des points dont les abscisses sont points de $a$ et dont les ordonnées sont comprises entre $l_{i-1}$ et $l_{i}$ ; soit ${\mathcal {C}}$ l’ensemble analogue relatif à $c$. L’ensemble ${{\mathcal {A}}-{\mathcal {C}}}$ étant contenu dans $\mathrm {E}$, on a

$m_{s,l}(\mathrm {E} )\geqq m_{s}({\mathcal {A}})-m_{s}({\mathcal {C}})=(l_{i}-l_{i-1})[m_{l}(a)-m_{l}(c)]$,

de là on déduit

$m_{s,i}(\mathrm {E} )\geqq (l_{i}-l_{i-1})\,m_{l}[\mathrm {E} (\varphi \geqq l_{i})]$.

En faisant la somme de toutes les inégalités analogues, on a

$m_{s,i}[\mathrm {E} (\varphi )]\geqq \textstyle \sum l_{i}\,m_{l}[\mathrm {E} (l_{i}\leqq \varphi <l_{i+1})]=\sigma$.

En raisonnant d’une façon analogue, on voit que

$m_{s,e}[\mathrm {E} (\varphi )]\leqq \textstyle \sum l_{i}\,m_{l}[\mathrm {E} (l_{i-1}<\varphi \leqq l_{i})]=\Sigma$.

Nous avons démontré que les deux quantités $\sigma$ et $\Sigma$ tendent vers une même limite quand le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tend vers zéro, donc $\mathrm {E} (\varphi )$ est mesurable et l’on retrouve la définition de l’intégrale déjà donnée.

Nous appellerons intégrale indéfinie de $f(x)$ l’une quelconque des fonctions

$\mathrm {F} (x)=\int _{\alpha }^{x}f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {K}$.

Les intégrales indéfinies sont des fonctions continues. Si $f(x)$ est une fonction bornée, cela est évident. Supposons ensuite $f(x)$ sommable mais non bornée, alors on peut trouver $\alpha$ assez grand pour que les intégrales de $f(x)$ dans les deux ensembles ${\mathrm {E} (f>\alpha )}$, ${\mathrm {E} (f<-\alpha )}$ soient toutes deux inférieures en module à $\varepsilon$. Posons ${f=f_{1}+f_{2}}$, $f_{1}$ étant nulle pour les deux ensembles ${\mathrm {E} (f>\alpha )}$, ${\mathrm {E} (f<-\alpha )}$ et $f_{2}$ étant nulle pour ${\mathrm {E} (-\alpha \leqq f\leqq \alpha )}$. Alors l’intégrale indéfinie de $f_{1}$ est une fonction continue ; l’in-