Arrivons à la définition de l’intégrale.
À toute fonction 
attachons les deux ensembles superficiels ![{\displaystyle {\mathrm {E} _{1}[f(x)],\mathrm {E} _{2}[f(x)]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0779ad282e482ee09022ea0813cbd018f089a1c1)
(Chap. III, p. 46) ; par analogie avec ce qui a été fait précédemment, il est naturel d’appeler intégrale de la fonction 
la quantité}}
![{\displaystyle \mathrm {I} =m_{s}[\mathrm {E} _{1}(f)]-m_{s}[\mathrm {E} _{2}(f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb81f41e21b1af82923e5ca7b81d25005e1217af)
.
Étudions dans quels cas cette définition s’applique ; nous allons démontrer que c’est lorsque la fonction est mesurable et seulement dans ce cas. Pour cela, il suffira évidemment de le démontrer pour la fonction 
égale à quand n’est pas négative, et nulle quand est négative ; c’est de cette fonction que nous allons nous occuper.
Quand on fait décroître 
, l’ensemble linéaire 
ne perd aucun point, de là on déduit que les mesures linéaires inférieure et supérieure ![{\displaystyle {m_{l,i}[\mathrm {E} (\varphi \geqq \alpha )]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a0bdb475d37b4f0210f916f6ba046090431ae3)
et ![{\displaystyle {m_{l,e}[\mathrm {E} (\varphi \geqq \alpha )]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17dc290e8dd45caad33007e4d21ca34a87d8e634)
sont des fonctions non croissantes. De plus, est l’ensemble des points qui appartiennent à tous les 
; de là on déduit que et sont des fonctions de continues à gauche. Ceci posé, supposons que l’on ait
![{\displaystyle {m_{l,e}[\mathrm {E} (\varphi \geqq \alpha )]}>{m_{l,i}[\mathrm {E} (\varphi \geqq \alpha )]}+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96831fbd877ff416f2b90bae2f32fa19ca531ec)
,
alors il en sera encore de même dans tout un certain intervalle 
. Considérons la partie 
de 
comprise entre 
et 
. Enfermons les points de dans des carrés 
, les points de 
dans des carrés 
; on peut supposer les et de côtés parallèles à 
et 
. Ils ont en commun des rectangles 
dont la somme des aires est au moins 
et en diffère aussi peu que l’on veut. La section des carrés par la droite 
est composée d’intervalles 
qui enferment ![{\displaystyle {\mathrm {E} [\varphi (x)\geqq \mathrm {K} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5f5c3ee382fc71d2a1d229c583102cf56ada2b)
, celle des carrés est composée d’intervalles 
qui enferment ![{\displaystyle {\mathrm {C} \left\lbrace \mathrm {E} [\varphi (x)\geqq \mathrm {K} ]\right\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d9b7bdfd6aed13251fde5c6c44b37617472090)
, celle des rectangles est formée des parties 
communes aux et ; on a donc
![{\displaystyle {m_{l}(c)\geqq m_{l,e}\lbrace \mathrm {E} [\varphi (x)\geqq \mathrm {K} ]\rbrace }-{m_{l,i}\lbrace \mathrm {E} [\varphi (x)\geqq \mathrm {K} ]\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ab9190b700ac60e51848b792d94a8bf78654dc)
.
est donc supérieure à 
quand 
varie de 
à , et
de ces questions ni de quelques autres qu’on peut y rattacher, comme l’intégration par parties et l’intégration sous le signe somme.
