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mesure extérieure, il faudra démontrer qu’un carré $\mathrm {C}$ ne peut être couvert à l’aide d’un nombre fini de carrés $c_{i}$ que si la somme des aires des $c_{i}$ est au moins égale à l’aire de $\mathrm {C}$, ce que l’on peut faire élémentairement^[1] ; puis il faudra démontrer le théorème de M. Borel lorsqu’on remplace dans son énoncé le mot intervalle par le mot carré ou le mot domaine.

La démonstration peut se faire comme pour le cas de la droite, mais je veux, à cette occasion, indiquer comment on peut employer la courbe de M. Peano et les autres courbes analogues (p. 44). Soit le domaine $\mathrm {D}$ dont tout point (ainsi que les points frontières) soit intérieur à l’un des domaines $\Delta$. Nous pouvons définir, à l’aide d’un paramètre $t$ variant de 0 à 1, une courbe $\mathrm {C}$ qui remplit le domaine $\mathrm {D}$ et qui ne passe par aucun point extérieur^[2]. Chaque domaine $\Delta$ découpe sur $\mathrm {C}$ des arcs correspondant à certains intervalles de variation pour $t$, soient $\delta$ ces intervalles. Un domaine $\Delta$ peut d’ailleurs avoir des points de sa frontière communs avec $\mathrm {C}$, ces points ne formant pas d’intervalles ; nous négligeons ces points et nous ne nous occupons que des intervalles. (0, 1) est évidemment couvert avec les $\delta$, donc avec un nombre fini d’entre eux, d’après le théorème de M. Borel pour le cas de la droite, et, par suite, $\mathrm {D}$ est couvert avec les $\Delta$ en nombre fini qui correspondent à ces $\delta$.

Cette propriété démontrée, la suite des raisonnements et des définitions se poursuit comme dans le cas de la droite, les intervalles étant toujours remplacés par des carrés. Comme dans le cas de la droite on définit les ensembles mesurables, les ensembles mesurables B, et l’on démontre à leur sujet les mêmes propriétés.

Il ne faut pas confondre la mesure des ensembles de points dans le plan avec celle des ensembles de points d’une droite ; nous les distinguerons lorsqu’il y aura doute en les qualifiant mesure superficielle $m_{s}$ et mesure linéaire $m_{l}$^[3].

1. Pour cette question et pour tout ce qui concerne la mesure des polygones, on consultera avec intérêt la Note D de la Géométrie élémentaire de M. Hadamard.
2. On pourra pour cela établir une correspondance biunivoque et continue entre les points d’un carré et ceux du domaine $\mathrm {D}$, puis prendre pour courbe $\mathrm {C}$ celle qui correspond à la courbe de Peano remplissant le carré.
3. Ces définitions permettent de définir les fonctions mesurables de deux variables et les intégrales doubles relatives à ces fonctions. Je ne m’occuperai ni