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tions non sommables pour définir leur intégrale ; je n’insisterai pas sur cette généralisation.

Voici une dernière définition ; si une fonction $f(x)$ est définie dans un ensemble $\mathrm {E}$, nous dirons qu’elle est sommable dans $\mathrm {E}$ si la fonction $f_{1}$, égale à $f$ pour les points de $\mathrm {E}$ et à 0 pour les points de $\mathrm {C_{AB}(E)}$, a une intégrale dans $\mathrm {AB}$, qui sera, par définition, l’intégrale de $f$ sur $\mathrm {E}$. Donc, si un ensemble $\mathrm {E}$ est la somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles mesurables $\mathrm {E} _{i}$, sans point commun deux à deux, on a

$\int _{\mathrm {E} }=\int _{\mathrm {E} _{1}}+\int _{\mathrm {E} _{2}}+\ldots$ ;

cela est évident si la fonction sommable considérée est bornée ; on le démontrera sans peine pour une fonction sommable quelconque.

V. — Définition géométrique de l’intégrale.

La définition constructive de l’intégrale à laquelle nous venons d’arriver est analogue à la définition développée au Chapitre II ; seulement, pour calculer une valeur approchée de l’intégrale, au lieu de se donner comme dans ce Chapitre une division de l’intervalle de variation de $x$ nous nous sommes donné une division de l’intervalle de variation de $f(x)$. Recherchons maintenant s’il est possible d’obtenir une définition analogue à celle du Chapitre III.

Cela suppose résolu le problème de la mesure des ensembles formés de points dans un plan, problème que l’on pose comme pour le cas de la droite, la condition 3′ devenant : la mesure de l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient les inégalités

$0\leqq x\leqq 1$,$0\leqq y\leqq 1$,

est 1.

On démontrera facilement que la mesure d’un carré est son aire, au sens élémentaire du mot. De là on déduira que la mesure d’un ensemble quelconque est comprise entre sa mesure extérieure et sa mesure intérieure, mesures qu’on définira comme dans le cas de la droite, les carrés remplaçant les intervalles.

Pour démontrer que la mesure intérieure ne surpasse jamais la