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à certaines fonctions non bornées. Soit $f(x)$ une fonction mesurable non bornée. Choisissons des nombres $\ldots ,l_{-2},l_{-1},l_{0},l_{1},l_{2},\ldots$, en nombre infini, échelonnés de $-\infty$ à $+\infty$ et tels que ${l_{i+1}-l_{i}}$ soit toujours inférieur à $\varepsilon$. Nous pouvons former les deux séries, infinies dans les deux sens,

${\begin{aligned}\sigma &=\sum _{-\infty }^{+\infty }l_{i}\,m{\big \lbrace }\mathrm {E} [l_{i}\leqq f(x)<l_{i+1}]{\big \rbrace }{\text{,}}\\\Sigma &=\sum _{-\infty }^{+\infty }l_{i}\,m{\big \lbrace }\mathrm {E} [l_{i-1}<f(x)\leqq l_{i}]{\big \rbrace }{\text{.}}\\\end{aligned}}$

En reprenant les raisonnements précédents, on voit immédiatement que, si l’une d’elles est convergente, et par suite absolument convergente, l’autre l’est aussi et que, dans ces conditions, $\sigma$ et $\Sigma$ tendent vers une limite bien déterminée quand le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tend vers zéro d’un manière quelconque. Cette limite est, par définition, l’intégrale de $f(x)$ dans l’intervalle positif d’intégration ; on passe de là à un intervalle négatif comme précédemment.

Nous appellerons fonctions sommables les fonctions auxquelles s’applique la définition constructive de l’intégrale ainsi complétée^[1]. Toute fonction mesurable bornée est sommable.

Les raisonnements employés montrent que le problème d’intégration est possible et d’une seule manière, si on le pose pour les fonctions sommables.

On ne connaît aucune fonction bornée non sommable, il est facile au contraire de citer des fonctions non bornées non sommables. La fonction nulle pour ${x=0}$ et égale à

$\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}\right)'=2x\sin {\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {2}{x}}\cos {\frac {1}{x^{2}}}$

en est un exemple ; cependant cette fonction peut être intégrée par les méthodes de Cauchy et de Dirichlet développées au Chapitre I. On pourra, dans certains cas, appliquer ces méthodes aux fonc-

1. Je m’écarte ici du langage adopté dans ma Thèse où j’appelais fonctions sommables celles que j’appelle maintenant mesurables. Avec les conventions du texte, le mot sommable joue dans la théorie de l’intégrale le même rôle que le mot intégrable dans l’intégration riemannienne.