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et $\varphi _{2}$ de la nature de celles dont il vient d’être parlé, donc ${f_{1}+f_{2}}$ diffère de moins de $2\varepsilon$ de ${\varphi _{1}+\varphi _{2}}$ ; ${\int _{a}^{b}(f_{1}+f_{2})\,\mathrm {d} x}$ diffère de moins de ${2\varepsilon |b-a|}$ de ${\int _{a}^{b}(\varphi _{1}+\varphi _{2})\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\varphi _{1}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}\varphi _{2}\,\mathrm {d} x}$, c’est-à-dire de moins de ${4\varepsilon |b-a|}$ de ${\int _{a}^{b}f_{1}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f_{2}\,\mathrm {d} x}$. La condition 3 est donc bien remplie.

La condition 6 est aussi remplie, car on a la propriété suivante :

Si les fonctions mesurables $f_{n}(x)$, bornées dans leur ensemble, c’est-à-dire quels que soient $n$ et $x$, ont une limite $f(x)$, l’intégrale de $f_{n}(x)$ tend vers celle de $f(x)$.

En effet, nous savons que $f(x)$ est intégrable ; évaluons

$\int _{a}^{b}[f(x)-f_{n}(x)]\,\mathrm {d} x$.

Si l’on a toujours ${|f_{n}(x)|<\mathrm {M} }$ et si ${f-f_{n}}$ est inférieure à $\varepsilon$ dans $\mathrm {E} _{n}$, ${f-f_{n}}$, étant inférieure à la fonction égale à $\varepsilon$ dans $\mathrm {E} _{n}$ et à $\mathrm {M}$ dans $\mathrm {C} (\mathrm {E} _{n})$, a une intégrale au plus égale en module à

$\varepsilon \,m(\mathrm {E} _{n})+\mathrm {M} \,m[\mathrm {C} (\mathrm {E} _{n})]$.

Mais $\varepsilon$ est quelconque, et $m[\mathrm {C} (\mathrm {E} _{n})]$ tend vers zéro avec ${\frac {1}{n}}$ parce qu’il n’y a aucun point commun à tous les $\mathrm {E} _{n}$, donc

$\int _{a}^{b}(f-f_{n})\,\mathrm {d} x$

tend vers zéro. La propriété est démontrée^[1].

Une autre forme de ce théorème est la suivante :

Si tous les restes d’une série de fonctions mesurables sont en module inférieurs à un nombre fixe $\mathrm {M}$, la série est intégrable terme à terme.

Les définitions et les résultats précédents peuvent être étendus

1. M. Osgood, dans un Mémoire de l’American Journal, 1897, On the non-uniform convergence, a démontré le cas particulier de ce théorème dans lequel $f$ et les $f_{n}$ sont continues. La méthode de M. Osgood est tout à fait différente de celle du texte.