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Nous savons déjà que ces deux nombres diffèrent de moins de ${\varepsilon (b-a)}$ parce que ${\Phi -\varphi }$ est inférieure à $\varepsilon$. Si nous faisons tendre $\varepsilon$ vers zéro, en intercalant entre les $l_{i}$ de nouveaux nombres, alors $\sigma$ croît, $\Sigma$ décroît, ${\Sigma -\sigma }$ tend vers zéro ; donc $\sigma$ et $\Sigma$ ont une même limite.

Soient $\sigma _{1},\Sigma _{1};\sigma _{2},\Sigma _{2};\ldots$ les sommes obtenues par ce procédé ; soient $\sigma '_{1},\Sigma '_{1};\sigma '_{2},\Sigma '_{2};\ldots$ les sommes obtenues en faisant tendre $\varepsilon$ vers zéro d’une autre manière^[1] ; soient $\sigma ''_{1},\Sigma ''_{1}$ les sommes obtenues en réunissant les nombres $l_{i}$ donnant $\sigma _{1},\Sigma _{1}$ et $\sigma '_{1},\Sigma '_{1}$ ; soient $\sigma ''_{2},\Sigma ''_{2}$ celles obtenues en réunissant les $l_{i}$ donnant $\sigma _{2},\Sigma _{2}$ ; $\sigma '_{1},\Sigma '_{1}$ ; $\sigma '_{2},\Sigma '_{2}$ ; et ainsi de suite. On a évidemment

${\begin{alignedat}{2}&\sigma _{i}&{}\leqq \sigma ''_{i}\leqq \Sigma ''_{i}\leqq {}&\Sigma _{i}{\text{,}}\\&\sigma '_{i}&{}\leqq \sigma ''_{i}\leqq \Sigma ''_{i}\leqq {}&\Sigma '_{i}{\text{ ;}}\end{alignedat}}$

la seconde de ces inégalités montre que $\sigma '_{i}$ et $\Sigma '_{i}$ ont la même limite que $\sigma ''_{i}$ et $\Sigma ''_{i}$, car nous savons que $\sigma ''_{i}$ et $\Sigma ''_{i}$ ont une limite et que ${\Sigma '_{i}-\sigma '_{i}}$ tend vers zéro. La première montre que cette limite est aussi celle de $\sigma _{i}$ et $\Sigma _{i}$.

La valeur de l’intégrale est donc indépendante de la manière dont le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tend vers zéro.

Nous complétons cette définition en posant

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Il reste à voir si l’intégrale satisfait bien aux conditions du problème d’intégration^[2] ; il nous suffit évidemment d’examiner les conditions 3 et 6.

Lorsque l’on additionne deux fonctions ne prenant chacune qu’un nombre fini de valeurs différentes, comme les fonctions $\varphi$ et $\Phi$ de la page 101, la condition 3 est évidemment vérifiée. Soient maintenant $f_{1}$ et $f_{2}$ deux fonctions mesurables bornées ; nous savons que $f_{1}$ et $f_{2}$ diffèrent de moins de $\varepsilon$ de deux fonctions $\varphi _{1}$

1. Les $l_{i}$ qui donnent $\sigma '_{p}$ et $\Sigma '_{p}$ ne contiennent pas nécessairement ceux qui ont donné $\sigma '_{p-1}$ et $\Sigma '_{p-1}$, tandis que les $l_{i}$ donnant $\sigma _{p}$ et $\Sigma _{p}$ contiennent les $l_{i}$ relatifs $\sigma _{p-1}$ et $\Sigma _{p-1}$.
2. Pour le cas où il existerait des fonctions non mesurables, il faut ajouter qu’on s’astreint à la considération des seules fonctions mesurables.