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appelle fonctions de seconde classe) sont des fonctions mesurables.

Remarquons encore que les fonctions ainsi formées de proche en proche sont mesurables B, c’est-à-dire que les ensembles qui leur correspondent sont mesurables B ; ce sont ces fonctions que nous rencontrerons uniquement^[1].

On peut souvent démontrer qu’une fonction est mesurable en se servant de la propriété suivante : si en faisant abstraction d’un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle, la fonction $f(x)$ est continue, elle est mesurable. Car les points limites de l’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x)]}$ qui ne font pas partie de cet ensemble font nécessairement partie de l’ensemble de mesure nulle négligé, donc ils forment un ensemble de mesure nulle. L’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x)]}$, étant fermé à un ensemble de mesure nulle près, est mesurable. On voit ainsi, en particulier, que toute fonction intégrable au sens de Riemann est mesurable ; on voit aussi que la fonction $\chi (x)$ de Dirichlet, qui est non intégrable, est mesurable.

IV. — Définition analytique de l’intégrale.

Définissons maintenant l’intégrale d’une fonction mesurable bornée en supposant l’intervalle d’intégration ${(a,b)}$ positif. Nous savons que, s’il s’agit d’une fonction $\psi$, cette intégrale est

$m[\mathrm {E} (\psi =1)]$,

et que, s’il s’agit d’une fonction $f(x)$ quelconque, l’intégrale doit être la limite commune des intégrales de $\varphi$ et $\Phi$ (p. 101) quand le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tend vers zéro. D’après les conditions du problème d’intégration, ces intégrales sont

${\begin{alignedat}{2}\sigma &{}={}&\sum _{i=0}^{i=n-1}&l_{i}\left(m\lbrace \mathrm {E} [f(x)=l_{i}]\rbrace +m\lbrace \mathrm {E} [l_{i}<f(x)<l_{i+1}]\rbrace \right){\text{,}}\\\Sigma &{}={}&\sum _{i=1}^{i=n}\;&l_{i}\left(m\lbrace \mathrm {E} [l_{i-1}<f(x)<l_{i}]\rbrace +m\lbrace \mathrm {E} [f(x)=l_{i}]\rbrace \right){\text{.}}\end{alignedat}}$

1. Je ne sais pas s’il est possible de nommer une fonction non mesurable B ; je ne sais pas s’il existe des fonctions non mesurables.